Istituzioni di Matematica II (canale 2),
Architettura (CU), A.A. 2023/2024
Testo consigliato: G. Crasta, A. Malusa,
“Matematica 2: teoria ed esercizi”, disponibile su Amazon (prima: casa ed.
Pitagora).
Altri testi: N. Fusco, P.
Marcellini, C. Sbordone, “Elementi di Analisi Matematica 2 (versione
semplificata per i nuovi corsi di laurea)”, M. Bramanti, C. D. Pagani, S.
Salsa, “Analisi Matematica 2”.
Ricevimento: ogni lunedì dalle 11:30 alle
12:30 e dalle 15 alle 16 (si prega di comunicare l’intenzione di venire a
ricevimento via e-mail). Si possono comunque fissare appuntamenti per altri
giorni e/o orari via e-mail.
DATE
ESAMI: 22/01/2024;
05/02/2024; 19/02/2024; 10/06/2024; 24/06/2024; 08/07/2024; 02/09/2024;
16/09/2024.
MODALITÀ
DI ESAME: l’esame sarà
costituito da una prova scritta della durata di circa due ore e mezza; lo
scritto conterrà anche una parte di teoria. Il docente si riserva comunque di
convocare gli/le studenti/studentesse all’orale qualora fosse necessario.
Durante lo scritto non sarà possibile utilizzare appunti, libri o calcolatrici.
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DI ISCRIZIONE ALLA GOOGLE CLASSROOM DEL CORSO: QUI
Lezione 27/09/23 (aula V1): Introduzione del corso con
accenni al programma. Richiami di matematica generale e del corso di
Istituzioni 1.
Lezione 04/10/23 (aula V1): Curve parametriche: definizione
generale, interpretazione fisica, caso di curve nel piano (n=2) e nello spazio
(n=3), sostegno di una curva, primi esempi di curve parametriche (grafici di
funzioni, circonferenze, ellissi, segmenti). Equivalenza di due curve con
esempi e controesempi. Curve chiuse, semplici, condizioni per verificare la
semplicità di una curva, concatenamento di curve.
Lezione 06/10/23 (aula V9): Curve parametriche: definizione
di vettore velocità e di curva regolare, esempi (anche di curve parametriche
notevoli in R^3). Interpretazione geometrica del vettore velocità come vettore
tangente, versore tangente a una curva, curve regolari a tratti. Lunghezza di
una curva: idea della costruzione geometrica col metodo degli elementi
infinitesimi, formula, lunghezza di due curve equivalenti, lunghezza di curve
regolari a tratti, primi esempi.
Lezione 11/10/23 (aula V1): Esercizi sul calcolo di
lunghezza di curve. Topologia di R^n: dominio, immagine e grafico di una
funzione di più variabili, distanza euclidea tra due punti con proprietà,
intorni sferici, definizioni di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto e
connesso con esempi, definizione di punto interno, di frontiera, e isolato.
Lezione 13/10/23 (aula V9): Proprietà e caratterizzazione
di insiemi aperti e chiusi in R^n, unione e intersezione di insiemi
aperti/chiusi, frontiera e chiusura di un insieme. Risoluzione di esercizi di
riepilogo sulle curve parametriche.
Lezione 18/10/23 (aula V1): Esempi di calcolo di domini di
funzioni di due variabili con rappresentazione grafica e caratteristiche
geometriche (apertura, chiusura, limitatezza, connessione). Limiti di funzioni
di più variabili nel caso di limite finito in un punto finito: punti di accumulazione,
definizione formale, interpretazione grafica, proprietà dei limiti (unicità,
permanenza del segno, operazioni sui limiti, restrizioni a curve).
Lezione 20/10/23 (aula V9): Esistenza e non esistenza di
limiti di funzioni di due variabili con esempi e utilizzo della definizione.
Funzioni continue in più variabili: definizione, operazioni su funzioni
continue (somma, prodotto, rapporto, composizione), continuità di funzioni di
più variabili dipendenti da una variabile sola con esempi. Richiami sulle
coordinate polari, limiti in coordinate polari, esercizi sulla verifica della
continuità di funzioni con richiami sui limiti notevoli.
Lezione 25/10/23 (online): Derivate parziali di funzioni di due variabili:
definizioni, esempi di calcolo, gradiente di una funzione, esempio del fatto
che una funzione derivabile parzialmente può non essere continua in R^2.
Derivate direzionali di funzioni di due variabili: definizione tramite limite,
esempi di calcolo, derivate parziali come particolari derivate direzionali.
Derivate parziali seconde: derivate pure e miste, teorema di Schwarz, matrice
Hessiana di una funzione di due variabili. Cenni al caso di funzioni di tre
variabili.
Lezione 27/10/23 (aula V9): Differenziabilità di una
funzione di due variabili: definizione tramite limite, relazione tra
differenziabilità e continuità, esempio del fatto che una funzione continua e
derivabile parzialmente può essere non differenziabile, teorema del
differenziale totale. Interpretazione geometrica del differenziale: equazione
del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile in un punto,
esempi. Formula del gradiente per il calcolo di derivate direzionali di
funzioni differenziabili con esempi.
Lezione 30/10/23 (aula V1): Risoluzione di esercizi su funzioni di due
variabili: domini e loro proprietà, limiti, continuità, calcolo di derivate
direzionali, equazione del piano tangente.
Lezione 03/11/23 (aula V9): Ottimizzazione libera in R^2: definizioni di massimi
e minimi (estremi) assoluti e relativi, primi esempi di punti di estremo
assoluto per funzioni di due variabili. Teorema di Weierstrass e teorema di
Fermat per funzioni di due variabili, definizione di punto stazionario, esempio
di un punto stazionario che non è un estremo relativo, punti di sella, piano
tangente in un punto stazionario. Teorema di classificazione dei punti
stazionari di una funzione di due variabili tramite la matrice Hessiana,
esempi, cenni al caso in cui il determinante dell’Hessiana è nullo.
Lezione 08/11/23 (online): Ottimizzazione vincolata in R^2: esempi e
definizione del problema, ottimizzazione lungo una curva parametrica,
ottimizzazione in un insieme compatto di R^2 con frontiera regolare a tratti,
strategia per trovare massimi e minimi assoluti di una funzione continua in un
insieme compatto, esempi di applicazione con ricerca di estremi assoluti in
cerchi, ellissi e triangoli.
Lezione 10/11/23 (aula V9): Integrali doppi di funzioni continue:
interpretazione geometrica, proprietà degli integrali doppi (linearità e
monotonia), integrali doppi su rettangoli con esempi, area di un dominio
bidimensionale, domini normali rispetto a x e rispetto a y, esempi e controesempi
di domini normali e proprietà.
Lezione 13/11/23 (aula V1): Risoluzione di esercizi su ottimizzazione libera e
vincolata in R^2.
Lezione 15/11/23 (aula V1): Integrali doppi di funzioni continue: formule di
riduzione di integrali doppi su domini normali, esempi di risoluzione.
Introduzione ai cambi di variabili in integrali doppi: integrali su domini
circolari o quadrati, coordinate polari, esempi e controesempi di applicazione.
Lezione 17/11/23 (aula V9): Esercitazione di riepilogo sugli argomenti della
prima parte del corso.
Lezione 22/11/23 (aula V1): Integrali doppi di funzioni continue con cambi di
variabile: definizione generale di cambio di variabile, determinante Jacobiano,
formula del cambio di variabile in integrali doppi. Esempi principali di cambi
di variabile: coordinate polari, integrali su quadrati, esempi di applicazione
della formula del cambio di variabile.
Lezione 24/11/23 (aula V9): Equazioni differenziali ordinarie (EDO): forma
generale, ordine di un’equazione differenziale, forma normale. Esempi di EDO
nelle applicazioni: modello logistico, oscillazioni libere e smorzate. Primi
esempi di EDO del prim’ordine: ricerca di primitive di una funzione, problemi
di Cauchy, definizione di soluzione di un problema di Cauchy, teorema di
esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy per una EDO del
prim’ordine in forma normale. Equazioni differenziali ordinarie del prim’ordine
a variabili separabili: presentazione del problema, teorema di esistenza e
unicità della soluzione del problema di Cauchy, osservazioni sulle ipotesi,
esempio di non unicità di soluzioni, soluzioni stazionarie, metodo risolutivo.
Lezione 29/11/23 (aula V1): Risoluzione di esercizi su integrali doppi di
funzioni continue in domini normali.
Lezione 01/12/23 (aula V9): Equazioni differenziali ordinarie del prim’ordine a
variabili separabili: metodo risolutivo del problema di Cauchy, esempi.
Equazioni differenziali ordinarie lineari del prim’ordine: presentazione del
problema, teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di
Cauchy. Metodo risolutivo: problema omogeneo, ricerca di una soluzione
particolare con il metodo di variazione delle costanti, formula risolutiva,
esempi.
Lezione 04/12/23 (aula V1): Equazioni differenziali ordinarie del second’ordine:
forma normale e caso lineare. EDO del second’ordine lineari a coefficienti
costanti omogenee: presentazione del problema, problemi di Cauchy, ricerca
della soluzione in forma esponenziale, polinomio caratteristico, equazione
caratteristica, formule risolutive nei casi discriminante >0, =0, <0,
esempi. Risoluzione di esercizi su integrali doppi di funzioni continue con
cambi di variabile.
Lezione 06/12/23 (aula V1): Equazioni differenziali ordinarie del second’ordine
lineari a coefficienti costanti complete: presentazione del problema, teorema
di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy, teorema di
struttura delle soluzioni, ricerca della soluzione come somma della soluzione
dell’omogenea e di una soluzione particolare, metodo di somiglianza per la
ricerca della soluzione particolare, principio di sovrapposizione, esempi e
controesempi di applicazione del metodo di somiglianza. Esercizi di riepilogo
sulle EDO lineari del prim’ordine.
Lezione 13/12/23 (aula V1): Integrali curvilinei: idea geometrica, definizione
di integrale curvilineo di prima specie su curve regolari, estensione al caso di
curve regolari a tratti, proprietà, esempi. Campi vettoriali: definizioni nel
caso di 2 e 3 variabili, primi esempi. Lavoro di un campo vettoriale: idea
fisica e geometrica, definizione di lavoro di un campo vettoriale lungo una
curva regolare (integrale curvilineo di seconda specie), estensione al caso di
curve regolari a tratti, proprietà, esempi.
Lezione 15/12/23 (aula V9): Campi vettoriali conservativi: interpretazione
fisica, definizione, potenziale di un campo vettoriale, formula per il lavoro
di campi vettoriali conservativi e proprietà. Rotore di un campo vettoriale:
definizione in dimensione 2 e 3, interpretazione fisica, campi vettoriali
irrotazionali, legame con la conservatività di un campo vettoriale. Insiemi
semplicemente connessi: caratterizzazione in dimensione 2 e 3, esempi,
equivalenza tra campi irrotazionali e conservativi su insiemi semplicemente
connessi. Metodo delle integrazioni indefinite per trovare un potenziale di un
campo vettoriale conservativo con esempi.
Lezione 20/12/23 (aula V1): Risoluzione di esercizi sulle equazioni
differenziali ordinarie e sugli integrali curvilinei.
Lezione 10/01/24 (aula V1): Risoluzione di esercizi di riepilogo in preparazione
dell’esame.
Lezione 12/01/24 (aula V9): Simulazione d’esame.
Istituzioni
di Matematica II (canale 2), Architettura (CU), A.A. 2022/2023
Testo consigliato: G. Crasta, A. Malusa,
“Matematica 2: teoria ed esercizi”, casa ed. Pitagora.
Altri testi: N. Fusco, P.
Marcellini, C. Sbordone, “Elementi di Analisi Matematica 2 (versione
semplificata per i nuovi corsi di laurea)”, M. Bramanti, C. D. Pagani, S.
Salsa, “Analisi Matematica 2”.
Ricevimento: ogni lunedì dalle 11:30 alle
12:30 e dalle 15 alle 16 (si prega di comunicare l’intenzione di venire a
ricevimento via e-mail). Si possono comunque fissare appuntamenti per altri
giorni e/o orari via e-mail.
DATE
ESAMI: 23/01/2023;
06/02/2023; 20/02/2023; 05/06/2023; 19/06/2023; 03/07/2023; 04/09/2023;
18/09/2023.
MODALITÀ
DI ESAME: l’esame sarà
costituito da una prova scritta della durata di circa due ore e mezza; lo
scritto conterrà anche una parte di teoria. Il docente si riserva comunque di
convocare gli/le studenti/studentesse all’orale qualora fosse necessario.
Durante lo scritto non sarà possibile utilizzare appunti, libri o calcolatrici.
Lezione 30/09/22 (aula V9): Introduzione del corso con
accenni al programma. Curve parametriche: definizione generale, caso di curve
nel piano (n=2) e nello spazio (n=3), sostegno di una curva, primi esempi di
curve parametriche (grafici di funzioni, circonferenze, ellissi, segmenti) con
interpretazione fisica.
Lezione 05/10/22 (aula V1): Curve parametriche: curve
chiuse, semplici, equivalenza di due curve con esempi e controesempi,
concatenamento di curve. Vettore e versore tangente a una curva,
interpretazione geometrica del vettore velocità (o tangente), curve regolari e
regolari a tratti, esempi.
Lezione 07/10/22 (aula V9): Esempi di curve parametriche notevoli in R^3.
Lunghezza di una curva: idea della costruzione geometrica col metodo degli
elementi infinitesimi, formula, lunghezza di due curve equivalenti, primi
esempi. Risoluzione di esercizi di riepilogo sulle curve parametriche.
Lezione 12/10/22 (aula V1): Risoluzione di esercizi di riepilogo sulle curve
parametriche. Topologia di R^n: distanza euclidea tra due punti, intorni
sferici, definizioni di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto e connesso
con esempi, definizione di punto interno, di frontiera, isolato e di
accumulazione. Dominio, immagine e grafico di una funzione di più variabili,
curve di livello.
Lezione 14/10/22 (aula V9): Proprietà di insiemi aperti/chiusi in R^n, unione e
intersezione di insiemi aperti/chiusi, chiusura di un insieme. Esempi di
calcolo di domini di funzioni di due variabili con rappresentazione grafica.
Lezione 19/10/22 (aula V1): Ulteriori esempi di calcolo di domini di funzioni di
due variabili con rappresentazione grafica. Limiti di funzioni di più variabili
nel caso di limite finito in un punto finito: definizione formale,
interpretazione grafica, proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
operazioni sui limiti), esistenza e non esistenza di limiti di funzioni di due
variabili con esempi.
Lezione 21/10/22 (aula V9): Funzioni continue in più variabili: definizione,
operazioni su funzioni continue (somma, prodotto, rapporto, composizione),
continuità di funzioni di più variabili dipendenti da una variabile sola con
esempi, richiami sulle coordinate polari, limiti in coordinate polari, esercizi
sulla verifica della continuità di funzioni con richiami sui limiti notevoli.
Lezione 26/10/22 (online): Derivate parziali di funzioni di due variabili:
definizioni, esempi di calcolo, gradiente di una funzione, esempio del fatto
che una funzione derivabile parzialmente può non essere continua in R^2.
Derivate direzionali di funzioni di due variabili: definizione tramite limite,
esempi di calcolo, derivate parziali come particolari derivate direzionali.
Derivate parziali seconde: derivate pure e miste, teorema di Schwarz, matrice
Hessiana di una funzione di due variabili. Cenni al caso di funzioni di tre
variabili.
Lezione 28/10/22 (aula V9): Differenziabilità di una
funzione di due variabili: definizione tramite limite, relazione tra
differenziabilità e continuità, esempio del fatto che una funzione continua e
derivabile parzialmente può essere non differenziabile, teorema del
differenziale totale. Interpretazione geometrica del differenziale: equazione
del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile in un punto,
esempi. Formula del gradiente per il calcolo di derivate direzionali di
funzioni differenziabili con esempi.
Lezione 02/11/22 (aula V1): Risoluzione di esercizi su funzioni di due
variabili: continuità, differenziabilità, calcolo di derivate direzionali,
equazione del piano tangente. Introduzione a problemi ottimizzazione con esempi
di ottimizzazione libera e/o vincolata.
Lezione 04/11/22 (aula V9): Ottimizzazione libera in R^2: definizioni di massimi
e minimi (estremi) assoluti e relativi, primi esempi di punti di estremo
assoluto per funzioni di due variabili. Teorema di Weierstrass e teorema di
Fermat per funzioni di due variabili, definizione di punto stazionario, esempio
di un punto stazionario che non è un estremo relativo, punti di sella, piano
tangente in un punto stazionario. Teorema di classificazione dei punti
stazionari di una funzione di due variabili tramite la matrice Hessiana,
esempi, cenni al caso in cui il determinante dell’Hessiana è nullo.
Lezione 09/11/22 (online): Ottimizzazione vincolata in R^2: ottimizzazione
lungo una curva parametrica, ottimizzazione in un insieme compatto di R^2 con
frontiera regolare a tratti, strategia per trovare massimi e minimi assoluti di
una funzione continua in un insieme compatto, esempi di applicazione con
ricerca di estremi assoluti in cerchi, ellissi e triangoli.
Lezione 11/11/22 (aula V9): Integrali doppi di funzioni continue:
interpretazione geometrica, proprietà degli integrali doppi (linearità e
monotonia), integrali doppi su rettangoli, domini normali rispetto a x e
rispetto a y, esempi di domini normali e proprietà, formule di riduzione di
integrali doppi su domini normali, esempi di risoluzione.
Lezione 16/11/22 (aula V1): Risoluzione di esercizi su ottimizzazione libera e
vincolata in R^2. Integrali doppi di funzioni continue: integrali su rettangoli
di funzioni del tipo g(x)h(y), area di domini normali di R^2, esempi.
Lezione 18/11/22 (aula V9): Integrali doppi di funzioni continue con cambi di
variabile: primi esempi e motivazioni, integrali su domini circolari o
quadrati, definizione generale di cambio di variabile, determinante Jacobiano,
formula del cambio di variabile in integrali doppi. Esempi principali di cambi
di variabile: coordinate polari, integrali su quadrati, esempi di applicazione
della formula del cambio di variabile.
Lezione 23/11/22 (aula V1): Risoluzione di esercizi su integrali doppi di
funzioni continue su domini normali e con cambi di coordinate.
Lezione 25/11/22 (aula V9): Equazioni differenziali ordinarie (EDO): forma
generale, ordine di un’equazione differenziale, forma normale. Esempi di EDO
nelle applicazioni: modello logistico, oscillazioni libere e smorzate. Primi
esempi di EDO del prim’ordine: ricerca di primitive di una funzione, problemi
di Cauchy, definizione di soluzione di un problema di Cauchy, teorema di
esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy per una EDO del
prim’ordine in forma normale.
Lezione 30/11/22 (aula V1): Equazioni differenziali ordinarie del prim’ordine a
variabili separabili: presentazione del problema, teorema di esistenza e
unicità della soluzione del problema di Cauchy, osservazioni sulle ipotesi,
esempio di non unicità di soluzioni, soluzioni stazionarie, metodo risolutivo,
intervalli di esistenza massimale di soluzioni, esempi.
Lezione 02/12/22 (aula V9): Equazioni differenziali ordinarie lineari del
prim’ordine: presentazione del problema, teorema di esistenza e unicità della
soluzione del problema di Cauchy. Metodo risolutivo: problema omogeneo, ricerca
di una soluzione particolare con il metodo di variazione delle costanti,
formula risolutiva (indefinita e definita), esempi.
Lezione 05/12/22 (aula V3): Equazioni differenziali ordinarie del second’ordine:
forma generale, forma normale, caso lineare. EDO del second’ordine lineari a
coefficienti costanti omogenee: presentazione del problema, problemi di Cauchy,
ricerca della soluzione in forma esponenziale, polinomio caratteristico,
equazione caratteristica, formule risolutive nei casi discriminante >0, =0,
<0, esempi.
Lezione 07/12/22 (aula V1): Equazioni differenziali ordinarie del second’ordine
lineari a coefficienti costanti complete: presentazione del problema, teorema
di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy, teorema di
struttura delle soluzioni, ricerca della soluzione come somma della soluzione
dell’omogenea e di una soluzione particolare, metodo di somiglianza per la
ricerca della soluzione particolare, principio di sovrapposizione, esempi e
controesempi di applicazione del metodo di somiglianza.
Lezione 12/12/22 (aula V3): Risoluzione di esercizi di riepilogo su curve,
limiti di funzioni di due variabili, massimi e minimi vincolati e integrali
doppi.
Lezione 14/12/22 (online): Integrali curvilinei: idea geometrica, definizione
di integrale curvilineo di prima specie su curve regolari, estensione al caso
di curve regolari a tratti, esempi. Campi vettoriali: definizioni nel caso di 2
e 3 variabili, esempi fisici di campi vettoriali. Lavoro di campi vettoriali:
idea fisica e geometrica, definizione di lavoro di un campo vettoriale lungo
una curva regolare (integrale curvilineo di seconda specie), estensione al caso
di curve regolari a tratti, esempi.
Lezione 16/12/22 (aula V9): Campi vettoriali conservativi: interpretazione
fisica, definizione, potenziale di un campo vettoriale, formula per il lavoro
di campi vettoriali conservativi e proprietà. Rotore di un campo vettoriale:
definizione in dimensione 2 e 3, interpretazione fisica, campi vettoriali
irrotazionali, legame con la conservatività di un campo vettoriale. Insiemi
semplicemente connessi: caratterizzazione in dimensione 2 e 3, esempi,
equivalenza tra campi irrotazionali e conservativi su insiemi semplicemente
connessi. Metodo delle integrazioni indefinite per trovare un potenziale di un
campo vettoriale conservativo.
Lezione 21/12/22 (aula V1): Risoluzione di esercizi sulle equazioni
differenziali ordinarie, sulla ricerca di un potenziale di un campo
conservativo e sul calcolo del lavoro di un campo conservativo.
Lezione 11/01/23 (aula V1): Risoluzione di esercizi di riepilogo in preparazione
dell’esame.
Lezione 13/01/23 (aula V9): Simulazione d’esame.
Analisi Matematica II (Canale A-O, 2
CFU), Ingegneria Clinica, A.A. 2021/2022
Ricevimento: si possono fissare appuntamenti
via e-mail.
Lezione 02/03/22 (aula 14): Risoluzione di esercizi su
successioni e serie di funzioni: convergenza puntuale e uniforme di successioni
di funzioni, passaggio al limite sotto il segno di integrale (esempi e
controesempi), convergenza puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni e
serie di potenze con calcolo di raggio di convergenza e somma.
Lezione 09/03/22 (aula 14): Identità di Parseval.
Risoluzione di esercizi su serie di Fourier di funzioni di periodo 2*pi con
calcolo di serie numeriche. Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario:
costruzione di funzioni di periodo arbitrario a partire da funzioni di periodo
2*pi, definizioni, esempio di calcolo.
Lezione 16/03/22 (aula 14): Richiami sui numeri complessi.
Forma algebrica, coniugato di un numero complesso. Forma trigonometrica, modulo
e argomento di un numero complesso. Formula di Eulero e forma esponenziale.
Potenza e radice n-esima di un numero complesso. Formula di De Moivre. Formula
per la radice n-esima di un numero complesso. Teorema fondamentale
dell’algebra. Risoluzione di esercizi sui numeri complessi.
Lezione 23/03/22 (aula 14): Risoluzione di esercizi su
funzioni di due variabili: domini con rappresentazione grafica e proprietà
geometriche, continuità e differenziabilità, piano tangente, derivate
direzionali con formula del gradiente.
Lezione 06/04/22 (aula 14): Risoluzione di esercizi su
integrali doppi di funzioni continue in coordinate cartesiane in domini normali
del piano.
Lezione 13/04/22 (aula 14): Risoluzione di esercizi su
integrali doppi di funzioni continue con cambi di variabile (coordinate polari,
ellittiche, in quadrati) e su calcolo di volumi di solidi di rotazione.
Lezione 20/04/22 (aula 14): Risoluzione di esercizi su
curve e forme differenziali: lunghezza di curve, integrali curvilinei di prima
e seconda specie, chiusura ed esattezza di forme differenziali.
Lezione 18/05/22 (aula 14): Trasformata di Laplace:
richiami su definizioni e proprietà, ascissa di convergenza, trasformata di
Laplace di dilatazione/contrazione, traslazione temporale e traslazione
complessa con esempi, derivata n-esima della trasformata, trasformata di una
funzione integrale e di f(t)/t, esempi ed esercizi vari.
Lezione 25/05/22 (aula 14): Esercizi di riepilogo di
analisi complessa: olomorfia di funzioni tramite le condizioni di
Cauchy-Riemann, armonicità di funzioni, classificazioni di singolarità,
integrazione in campo complesso tramite il teorema dei residui e il teorema
integrale di Cauchy, risoluzione di integrali in campo reale tramite le
tecniche di analisi complessa (con applicazione del lemma del grande cerchio e
del lemma di Jordan), trasformata e anti-trasformata di Laplace di segnali.
Metodi Matematici per l’Ingegneria,
Ingegneria Chimica, A.A. 2021/2022 (MAT/05)
Testi consigliati: F. Scarabotti, “Equazioni alle
derivate parziali: teoria elementare e applicazioni”, casa ed. Esculapio.
Ricevimento: si possono fissare appuntamenti
via e-mail.
DATE
ESAMI (MAT/05): 26/01/2022;
18/02/2022; 27/06/2022; 25/07/2022; 22/09/2022.
MODALITÀ DI ESAME (MAT/05): l’esame sarà costituito da una
prova orale della durata di circa 30 minuti. L’esame orale sarà composto da una
parte di esercizi e da una parte di teoria. Si ricorda agli studenti che per
sostenere l'esame della parte di MAT/05 bisogna aver superato l'esame sulla
parte di MAT/08 con il Prof. Vitulano.
Lezione 27/09/21 (aula 25): Introduzione alle equazioni
alle derivate parziali: equazione del trasporto, equazione del calore,
equazione delle onde, equazione di Poisson, equazione di Laplace e funzioni
armoniche. Operatore Laplaciano in coordinate cartesiane e polari. Funzioni pari
e dispari. Derivazione di integrali dipendenti da un parametro.
Lezione 28/09/21 (aula 17): Richiami sulle serie di
potenze: raggio di convergenza e criteri di Cauchy e di D’Alembert per il suo
calcolo, convergenza puntuale e uniforme, esempi. Richiami su funzioni
periodiche, pari e dispari e relative proprietà di integrazione.
Lezione 01/10/21 (aula 25): Funzioni regolari a tratti e
estensione periodica di funzioni. Richiami sulle serie di Fourier di funzioni
di periodo 2*pi: definizione e proprietà dei coefficienti di Fourier, serie di
Fourier di funzioni regolari a tratti, esempi di calcolo di serie di Fourier.
Lezione 04/10/21 (aula 25): Convergenza puntuale, uniforme
e totale di serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel, corollario di
Riemann-Lebesgue, identità di Parseval. Esempi di calcolo di serie di Fourier,
con studio del tipo di convergenze e applicazioni dell’identità di Parseval.
Lezione 05/10/21 (aula 17): Esempi di calcolo di serie di
Fourier. Sviluppo in serie di Fourier di polinomi trigonometrici. Serie di
Fourier di funzioni di periodo arbitrario: costruzione di funzioni di periodo
arbitrario a partire da funzioni di periodo 2*pi, definizioni e esempi di
calcolo.
Lezione 08/10/21 (aula 25): Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari: introduzione del problema,
linearità dell’operatore differenziale associato, problema di Cauchy nel
semipiano. Caso dei coefficienti costanti: rette caratteristiche, teorema di esistenza
e unicità della soluzione classica del problema di Cauchy, dimostrazione della
formula risolutiva.
Lezione 11/10/21 (aula 25): Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti costanti sul
semipiano e nel primo quadrante: esempi, calcolo delle caratteristiche,
risoluzione di esercizi. Esempi nel caso di funzioni regolari a tratti nel semipiano.
Lezione 12/10/21 (aula 17): Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti costanti sulla
semistriscia con esempi. Richiami su teoremi di esistenza locale e globale per
soluzioni di equazioni differenziali ordinarie.
Lezione 15/10/21 (aula 25): Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti non costanti:
metodo risolutivo ed enunciato del teorema di esistenza e unicità, esempi di
risoluzione e di calcolo dell’insieme di determinazione.
Lezione 18/10/21 (aula 25): Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili nonlineari: equazioni semilineari,
equazioni quasilineari della forma u_t+q’(u)u_x=0, teorema di esistenza e
unicità e suo corollario, costruzione delle caratteristiche e della soluzione
in forma implicita.
Lezione 19/10/21 (aula 17): Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili quasilineari: esempi, interpretazione
“morale” della condizione di segno, caso di funzioni regolari a tratti,
costruzione dell’onda di rarefazione.
Lezione 22/10/21 (aula 25): Problema di Riemann per
equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili quasilineari:
metodo di risoluzione con onde di rarefazione, onda d’urto, condizione di
Rankine-Hugoniot, onde non fisiche e condizione di Lax, vari esempi.
Lezione 25/10/21 (aula 25): Applicazioni delle equazioni
alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili. Equazione delle onde a
coefficienti costanti in due variabili nel semipiano: costruzione della
soluzione nel caso di condizioni iniziali omogenee e teorema di esistenza e
unicità nel caso generale. Modelli del traffico: ipotesi costitutive e
interpretazione fisica, problema del traffico con ingorgo in x=0 (onda d’urto),
problema del traffico con semaforo in x=0 (onda di rarefazione).
Lezione 26/10/21 (aula 17): Equazione del calore omogenea
in due variabili nella semistriscia: presentazione del problema,
interpretazione fisica, problema di Cauchy-Dirichlet con condizioni al bordo
omogenee, definizione di soluzione classica. Costruzione della soluzione:
metodo di separazione delle varabili, struttura della soluzione del problema al
contorno associato, prolungamento dispari periodico di funzioni, teorema di
esistenza di soluzioni classiche del problema con dimostrazione, effetto
regolarizzante dell’operatore del calore.
Lezione 29/10/21 (aula 25): Esempi di risoluzione di
problemi di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea in due
variabili nella semistriscia, anche nel caso di dati iniziali che non
soddisfano le ipotesi di compatibilità. Problema di Cauchy-Neumann per
l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia:
interpretazione fisica, definizione di soluzione classica, costruzione della
soluzione per separazione delle variabili, struttura della soluzione del
problema al contorno associato, prolungamento pari periodico di funzioni.
Lezione 02/11/21 (aula 17): Teoremi di esistenza di
soluzioni (classiche e regolari) per il problema di Cauchy-Neumann per
l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia ed esempi
di risoluzione. Problema di Cauchy-Dirichlet nella semistriscia nel caso non omogeneo
(f=f(x), dati di Dirichlet costanti): costruzione della soluzione, esistenza di
soluzioni classiche, convergenza uniforme alla soluzione stazionaria,
dimostrazione di una stima di convergenza.
Lezione 05/11/21 (aula 25): Problema di Cauchy-Dirichlet
per l’equazione del calore non omogenea in due variabili nella semistriscia
(f=f(x), dati di Dirichlet costanti): dimostrazione di una seconda stima di
convergenze uniforme alla soluzione stazionaria, esempi di risoluzione e
calcolo della stima di convergenza alla soluzione stazionaria. Problema di
Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore non omogenea in due variabili nella
semistriscia (f=f(x,t), dati di Dirichlet omogenei): costruzione delle soluzioni
ed esistenza di soluzioni classiche, esempi di risoluzione.
Lezione 08/11/21 (aula 25): Problema di Cauchy-Neumann per
l’equazione del calore non omogenea in due variabili nella semistriscia
(f=f(x,t), dati di Neumann omogenei): costruzione delle soluzioni ed esistenza
di soluzioni classiche e regolari, esempi di risoluzione. Problema di Cauchy-Dirichlet
per l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia con
dati di Dirichlet di tipo polinomiale: costruzione delle soluzioni ed esistenza
di soluzioni classiche. Principio del massimo: definizione di frontiera
parabolica e interno parabolico, enunciato del principio del massimo,
dimostrazione dell’unicità della soluzione classica di problemi di
Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore in un rettangolo utilizzando il
principio del massimo.
Lezione 12/11/21 (aula 25): Principio del massimo e sue
conseguenze: massimo del modulo di una soluzione, dipendenza continua dai dati
di soluzioni di problemi di Cauchy-Dirichlet in un rettangolo, confronto tra
soluzioni. Esempi di applicazione del principio del massimo per trovare
massimi/minimi di soluzioni di problemi di Cauchy-Dirichlet in rettangoli.
Richiami sulla sommabilità di funzioni in intervalli illimitati: parte positiva
e negativa di una funzione, definizione di funzione sommabile, teorema del
confronto e corollario per verificare la sommabilità di funzioni.
Lezione 15/11/21 (aula 25): Problema di Cauchy per
l’equazione del calore omogenea in due variabili nel semipiano: condizione di
Tychonoff, esistenza e unicità (locale) della soluzione classica del problema
nello spazio di Tychonoff, formula risolutiva con dimostrazione della sommabilità,
nucleo del calore con relative proprietà, casi di esistenza globale in tempo
della soluzione.
Lezione 19/11/21 (aula 25): Risoluzione di esercizi su
problemi di Cauchy per l’equazione del calore omogenea in due variabili nel
semipiano con l’utilizzo di integrali di Gauss e integrali notevoli.
Lezione 22/11/21 (aula 25): Utilizzo del metodo risolutivo
per l’equazione del calore nel semipiano per risolvere problemi del secondo
ordine più generali. Equazioni di Laplace e di Poisson: presentazione dei
problemi, condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin. Richiami: definizione
di dominio regolare, orientazione di una frontiera, funzioni biregolari,
formule di Green in dimensione due e tre.
Lezione 23/11/21 (aula 17): Corollari delle formule di
Green per funzioni armoniche e loro conseguenze: unicità di soluzioni
(biregolari) dei problemi di Dirichlet, Neumann (a meno di costanti) e Robin
per l’equazione di Poisson, condizioni necessarie per l’esistenza di soluzioni
di problemi di Neumann. Costruzione delle soluzioni fondamentali in dimensione
due e tre, richiamo sul metodo risolutivo delle equazioni di Eulero, formule di
rappresentazione usando le soluzioni fondamentali. Teoremi della media per
funzioni armoniche in dimensione due e tre.
Lezione 30/11/21 (aula 17): Equazione di Laplace con
condizioni di Dirichlet nel cerchio unitario: definizione di soluzione
classica, teorema di esistenza e unicità, regolarità della soluzione classica
con effetto regolarizzante del Laplaciano, costruzione della soluzione per separazione
delle variabili in coordinate polari, richiami sull’equazione di Eulero,
scrittura della soluzione in serie e in forma integrale (integrale di Poisson),
esempi.
Lezione 03/12/21 (aula 25): Equazione di Laplace con
condizioni di Dirichlet in un anello: costruzione della soluzione per
separazione delle variabili in coordinate polari, esempi di risoluzione.
Equazione di Poisson con condizioni di Dirichlet nel cerchio unitario:
costruzione della soluzione in coordinate polari e metodo risolutivo attraverso
sistemi di EDO, esempi.
Lezione 06/12/21 (aula 25): Esempio di risoluzione di
un’equazione di Poisson con condizioni di Dirichlet nel cerchio unitario.
Equazione di Laplace con condizioni di Dirichlet in un rettangolo: costruzione
della soluzione per separazione delle variabili nel caso di un solo dato al
bordo non nullo, teorema di esistenza della soluzione classica, estensione al
caso di 4 dati al bordo non nulli, primo teorema di esistenza della soluzione
classica con condizioni di compatibilità dei dati.
Lezione 07/12/21 (aula 17): Equazione di Laplace con
condizioni di Dirichlet in un rettangolo: secondo teorema di esistenza della
soluzione classica con condizioni di compatibilità dei dati sui vertici,
esempio di risoluzione. Principio del massimo forte per funzioni armoniche e
dimostrazione di un suo corollario, esempio di utilizzo del principio del
massimo forte (e del suo corollario) per dimostrare disuguaglianze.
Lezione 10/12/21 (aula 25): Problema agli autovalori per
l’operatore di Laplace in un rettangolo con condizioni di Dirichlet e di
Neumann omogenee: separazione delle variabili, autovalori e autofunzioni del
Laplaciano, esempio dell’applicazione del metodo a condizioni miste Dirichlet-Neumann.
Funzioni di Green per aperti di R^2 e R^3: diagonale di un insieme, definizione
e proprietà di funzioni di Green, formule di rappresentazione di soluzioni
biregolari di problemi di Laplace-Dirichlet in termini delle funzioni di Green
in R^2 e R^3, funzione di Green del semispazio z>0 e della sfera unitaria,
formula di Poisson per la sfera unitaria.
Lezione 13/12/21 (aula 25): Esercizi di riepilogo sugli
argomenti del corso con richiami di teoria: problema di Poisson-Dirichlet nel
cerchio unitario, problema di Cauchy-Neumann per l’equazione del calore non
omogenea con condizioni al bordo omogenee con esistenza e unicità di soluzione
classica e regolare, problema di Cauchy per un’equazione lineare del
prim’ordine a coefficienti costanti nel semipiano con esistenza e unicità di
soluzione classica.
Lezione 14/12/21 (aula 17): Esercizi di riepilogo sugli
argomenti del corso con richiami di teoria: problema di Cauchy per un’equazione
quasilineare del prim’ordine nel semipiano con esistenza e unicità di soluzione
classica, applicazione del principio del massimo forte per funzioni armoniche,
problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea con condizioni
al bordo omogenee con esistenza e unicità di soluzione classica, problema di
Laplace-Dirichlet in una corona circolare.
Lezione 17/12/21 (aula 25): Esercizi di riepilogo sugli
argomenti del corso con richiami di teoria: problema di Cauchy-Dirichlet per
l’equazione del calore omogenea con condizioni al bordo non omogenee con
esistenza e unicità di soluzione classica e stime di convergenza alla soluzione
stazionaria, problema di Cauchy per un’equazione lineare del prim’ordine a
coefficienti non costanti nel semipiano con esistenza e unicità di soluzione
classica, problema di Riemann per equazioni quasilineari del prim’ordine utilizzando
onde di rarefazione, problema di Laplace-Dirichlet in una corona circolare.
Metodi Matematici per l’Ingegneria,
Ingegneria Chimica, A.A. 2020/2021 (MAT/05)
Testi consigliati: F. Scarabotti, “Equazioni alle
derivate parziali: teoria elementare e applicazioni”, casa ed. Esculapio.
Ricevimento: si possono fissare appuntamenti
via e-mail.
DATE
ESAMI (MAT/05): 27/01/2021;
19/02/2021; 28/06/2021; 20/07/2021; 24/09/2021.
MODALITÀ
DI ESAME (MAT/05): l’esame sarà
costituito da una prova orale della durata di circa 30 minuti. L’esame orale
sarà composto da una parte di esercizi e da una parte di teoria. Si ricorda
agli studenti che per sostenere l'esame della parte di MAT/05 bisogna aver
superato l'esame sulla parte di MAT/08 con il Prof. Vitulano.
Lezione 28/09/20 (aula 25): Introduzione alle equazioni
alle derivate parziali: equazione del trasporto, equazione del calore,
equazione delle onde, equazione di Poisson, equazione di Laplace e funzioni
armoniche. Operatore Laplaciano in coordinate cartesiane e polari. Derivazione
di integrali dipendenti da un parametro.
Lezione 29/09/20: Richiami sulle serie di
potenze: raggio di convergenza e criteri di Cauchy e di D’Alembert per il suo
calcolo, convergenza puntuale, uniforme e totale, esempi. Richiami su funzioni
periodiche, pari e dispari e relative proprietà di integrazione.
Lezione 02/10/20: Funzioni regolari a tratti e
estensione periodica di funzioni. Richiami sulle serie di Fourier: definizione
e proprietà dei coefficienti di Fourier, convergenza puntuale di una serie di
Fourier di funzioni regolari a tratti, esempi di calcolo di serie di Fourier.
Lezione 05/10/20: Convergenza puntuale, uniforme,
totale e in media quadratica di serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel,
corollario di Riemann-Lebesgue, identità di Parseval. Esempi di calcolo di
serie di Fourier, con studio del tipo di convergenze e applicazioni dell’identità
di Parseval.
Lezione 06/10/20: Sviluppo in serie di Fourier di
polinomi trigonometrici. Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario:
definizioni e esempi di calcolo.
Lezione 09/10/20: Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari: introduzione del problema,
linearità dell’operatore differenziale associato, problema di Cauchy nel
semipiano. Caso dei coefficienti costanti: teorema di esistenza e unicità della
soluzione classica del problema di Cauchy, dimostrazione della formula
risolutiva.
Lezione 12/10/20: Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti costanti sul
semipiano e nel primo quadrante: esempi, calcolo delle caratteristiche,
risoluzione di esercizi.
Lezione 13/10/20: Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti costanti sulla
semistriscia. Esempi nel caso di funzioni regolari a tratti. Richiami su
teoremi di esistenza locale e globale per soluzioni di equazioni differenziali
ordinarie
Lezione 16/10/20: Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti non costanti:
metodo risolutivo ed enunciato del teorema di esistenza e unicità, esempi di
risoluzione.
Lezione 19/10/20: Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili nonlineari: equazioni semilineari,
equazioni quasilineari della forma u_t+q’(u)u_x=0, teorema di esistenza e
unicità e suo corollario, costruzione delle caratteristiche e della soluzione
in forma implicita.
Lezione 20/10/20: Equazioni alle derivate
parziali del prim’ordine in due variabili quasilineari: non validità della
condizione di segno, caso di funzioni regolari a tratti, onda di rarefazione,
esempi.
Lezione 23/10/20: Problema di Riemann per
equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili quasilineari:
metodo di risoluzione con onde di rarefazione, onda d’urto, condizione di
Rankine-Hugoniot, onde non fisiche, vari esempi.
Lezione 26/10/20: Applicazioni delle equazioni
alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili. Equazione delle onde
in due variabili nel semipiano: costruzione della soluzione nel caso di
condizioni iniziali omogenee, teorema di esistenza e unicità nel caso generale,
esempi. Modelli del traffico: ipotesi costitutive e interpretazione fisica,
problema del traffico con ingorgo in x=0 (onda d’urto), problema del traffico
con semaforo in x=0 (onda di rarefazione).
Lezione 27/10/20: Equazione del calore omogenea
in due variabili nella semistriscia: presentazione del problema,
interpretazione fisica, problema di Cauchy-Dirichlet con condizioni al bordo
omogenee, definizione di soluzione classica. Costruzione della soluzione:
metodo di separazione delle varabili, struttura della soluzione del problema al
contorno associato, prolungamento dispari periodico di funzioni, teorema di
esistenza di soluzioni classiche del problema con dimostrazione, effetto
regolarizzante dell’operatore del calore.
Lezione 30/10/20: Esempi di risoluzione di
problemi di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea in due
variabili nella semistriscia, anche nel caso di dati iniziali che
non soddisfano le ipotesi di compatibilità. Problema di Cauchy-Neumann per
l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia:
interpretazione fisica, definizione di soluzione classica, costruzione della
soluzione per separazione delle variabili, prolungamento pari periodico di
funzioni, teorema di esistenza di soluzioni classiche del problema.
Lezione 02/11/20: Teoremi di esistenza di
soluzioni (classiche e regolari) per il problema di Cauchy-Neumann per
l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia ed esempi
di risoluzione. Problema di Cauchy-Dirichlet nella semistriscia nel caso non omogeneo
(f=f(x), dati di Dirichlet costanti): costruzione della soluzione, esistenza di
soluzioni classiche, convergenza uniforme alla soluzione stazionaria,
dimostrazione di due stime di convergenza.
Lezione 06/11/20: Problema di Cauchy-Dirichlet
per l’equazione del calore non omogenea in due variabili nella semistriscia
(f=f(x), dati di Dirichlet costanti): esempi di risoluzione e calcolo della
stima di convergenza alla soluzione stazionaria. Problemi di Cauchy-Dirichlet/Neumann
per l’equazione del calore non omogenea in due variabili nella semistriscia
(f=f(x,t), dati di Dirichlet/Neumann omogenei): costruzione delle soluzioni ed
esistenza di soluzioni classiche e regolari, esempi di risoluzione.
Lezione 09/11/20: Problema di Cauchy-Dirichlet
per l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia con
dati di Dirichlet di tipo polinomiale: costruzione delle soluzioni ed esistenza
di soluzioni classiche, esempi di risoluzione. Principio del massimo:
definizione di frontiera parabolica e interno parabolico, enunciato del
principio del massimo, dimostrazione dell’unicità della soluzione classica di
problemi di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore in un rettangolo
utilizzando il principio del massimo.
Lezione 13/11/20: Principio del massimo e sue
conseguenze: massimo del modulo di una soluzione, dipendenza continua dai dati
di soluzioni di problemi di Cauchy-Dirichlet in un rettangolo, confronto tra
soluzioni. Esempi di applicazione del principio del massimo per trovare
massimi/minimi di soluzioni di problemi di Cauchy-Dirichlet in rettangoli.
Richiami sulla sommabilità di funzioni in intervalli illimitati o in intervalli
in cui la funzione non è continua: definizioni di funzione sommabile, teoremi
del confronto e corollari per verificare la sommabilità di funzioni.
Lezione 16/11/20: Problema di Cauchy per
l’equazione del calore omogenea in due variabili nel semipiano: condizione di
Tychonoff, esistenza e unicità (locale) della soluzione classica del problema
nello spazio di Tychonoff, formula risolutiva con dimostrazione della sommabilità,
nucleo del calore con relative proprietà, casi di esistenza globale in tempo
della soluzione.
Lezione 20/11/20: Risoluzione di esercizi su
problemi di Cauchy per l’equazione del calore omogenea in due variabili nel
semipiano con l’utilizzo di integrali di Gauss e integrali notevoli.
Lezione 23/11/20: Utilizzo del metodo risolutivo
per l’equazione del calore nel semipiano per risolvere problemi del secondo
ordine più generali. Equazioni di Laplace e di Poisson: presentazione dei
problemi, condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin. Richiami: definizione
di dominio regolare, orientazione di una frontiera, funzioni biregolari,
formule di Green in dimensione due e tre.
Lezione 27/11/20: Conseguenze delle formule di
Green per funzioni armoniche: unicità della soluzione dei problemi di
Dirichlet, Neumann (a meno di costanti) e Robin per l’equazione di Poisson,
condizioni necessarie per l’esistenza di soluzioni di problemi di Neumann. Costruzione
delle soluzioni fondamentali in dimensione due e tre, richiamo sul metodo
risolutivo delle equazioni di Eulero, formule di rappresentazione usando le
soluzioni fondamentali. Teoremi della media per funzioni armoniche in
dimensione due e tre.
Lezione 30/11/20: Equazione di Laplace con
condizioni di Dirichlet nel cerchio unitario: definizione di soluzione
classica, teorema di esistenza e unicità, costruzione della soluzione per
separazione delle variabili in coordinate polari, richiami sull’equazione di
Eulero, scrittura della soluzione in serie e in forma integrale (integrale di
Poisson), esempi.
Lezione 01/12/20: Dimostrazione della regolarità
della soluzione classica di problemi di Laplace con condizioni di Dirichlet nel
cerchio unitario. Equazione di Poisson con condizioni di Dirichlet nel cerchio
unitario: costruzione della soluzione e metodo risolutivo attraverso sistemi di
EDO, esempi. Equazione di Laplace con condizioni di Dirichlet in un anello:
cenni sulla costruzione della soluzione per separazione delle variabili, esempi
di risoluzione.
Lezione 04/12/20: Equazione di Laplace con
condizioni di Dirichlet in un rettangolo: costruzione della soluzione per
separazione delle variabili nel caso di un solo dato al bordo non nullo,
teorema di esistenza della soluzione classica, estensione al caso di 4 dati al
bordo non nulli, due teoremi di esistenza di soluzioni classiche con diverse
condizioni di compatibilità dei dati.
Lezione 07/12/20: Esempio di risoluzione di
problemi di Laplace con condizioni di Dirichlet in un rettangolo. Principio del
massimo forte per funzioni armoniche e dimostrazione di un suo corollario,
esempio di utilizzo del principio del massimo forte (e del suo corollario) per
dimostrare disuguaglianze.
Lezione 11/12/20: Esempi di applicazione del
principio del massimo forte (e del suo corollario). Funzioni di Green per
aperti di R^2 e R^3: diagonale di un insieme, definizione e proprietà di
funzioni di Green, formule di rappresentazione di soluzioni biregolari di problemi
di Laplace-Dirichlet in termini delle funzioni di Green in R^2 e R^3, funzione
di Green del semispazio z>0 e della sfera unitaria, formula di Poisson per
la sfera unitaria.
Lezione 14/12/20: Esercizi di riepilogo sugli
argomenti del corso con richiami di teoria: problema di Poisson-Dirichlet nel
cerchio unitario, problema di Cauchy per un’equazione quasilineare del
prim’ordine nel semipiano con esistenza e unicità di soluzione classica, problema
di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea con esistenza e unicità
di soluzione classica.
Lezione 15/12/20: Esercizi di riepilogo sugli
argomenti del corso con richiami di teoria: applicazione del principio del
massimo forte per funzioni armoniche, problema agli autovalori per l'operatore
di Laplace con condizioni miste in un rettangolo, problema di Cauchy-Neumann
per l’equazione del calore non omogenea con condizioni al bordo omogenee con
esistenza e unicità di soluzione classica e regolare, problema di Cauchy per
un’equazione lineare del prim’ordine nel semipiano con esistenza e unicità di
soluzione classica.
Lezione 18/12/20: Esercizi di riepilogo sugli
argomenti del corso con richiami di teoria: problema di Cauchy-Dirichlet per
l’equazione del calore omogenea con condizioni al bordo non omogenee con
esistenza e unicità di soluzione classica e stima di convergenza alla soluzione
stazionaria, problemi di Laplace-Dirichlet in corone circolari, problemi di
Riemann per equazioni quasilineari del prim’ordine utilizzando onde di
rarefazione e onde d’urto.