Ingegneria Chimica A.A. 2021/2022

Ingegneria Chimica A.A. 2020/2021

 

Metodi Matematici per l’Ingegneria, Ingegneria Chimica, A.A. 2021/2022 (MAT/05)

Testi consigliati: F. Scarabotti, “Equazioni alle derivate parziali: teoria elementare e applicazioni”, casa ed. Esculapio.

Ricevimento: si possono fissare appuntamenti via e-mail.

MODALITÀ DI ESAME (MAT/05): l’esame sarà costituito da una prova orale della durata di circa 30 minuti. L’esame orale sarà composto da una parte di esercizi e da una parte di teoria. Si ricorda agli studenti che per sostenere l'esame della parte di MAT/05 bisogna aver superato l'esame sulla parte di MAT/08 con il Prof. Vitulano.

 

Metodi Matematici per l’Ingegneria, Ingegneria Chimica, A.A. 2020/2021 (MAT/05)

Testi consigliati: F. Scarabotti, “Equazioni alle derivate parziali: teoria elementare e applicazioni”, casa ed. Esculapio.

Ricevimento: si possono fissare appuntamenti via e-mail.

DATE ESAMI (MAT/05): 27/01/2021; 19/02/2021; 28/06/2021; 20/07/2021; 24/09/2021.

MODALITÀ DI ESAME (MAT/05): l’esame sarà costituito da una prova orale della durata di circa 30 minuti. L’esame orale sarà composto da una parte di esercizi e da una parte di teoria. Si ricorda agli studenti che per sostenere l'esame della parte di MAT/05 bisogna aver superato l'esame sulla parte di MAT/08 con il Prof. Vitulano.

Lezione 28/09/20 (aula 25): Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: equazione del trasporto, equazione del calore, equazione delle onde, equazione di Poisson, equazione di Laplace e funzioni armoniche. Operatore Laplaciano in coordinate cartesiane e polari. Derivazione di integrali dipendenti da un parametro.

Lezione 29/09/20: Richiami sulle serie di potenze: raggio di convergenza e criteri di Cauchy e di D’Alembert per il suo calcolo, convergenza puntuale, uniforme e totale, esempi. Richiami su funzioni periodiche, pari e dispari e relative proprietà di integrazione.

Lezione 02/10/20: Funzioni regolari a tratti e estensione periodica di funzioni. Richiami sulle serie di Fourier: definizione e proprietà dei coefficienti di Fourier, convergenza puntuale di una serie di Fourier di funzioni regolari a tratti, esempi di calcolo di serie di Fourier.

Lezione 05/10/20: Convergenza puntuale, uniforme, totale e in media quadratica di serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel, corollario di Riemann-Lebesgue, identità di Parseval. Esempi di calcolo di serie di Fourier, con studio del tipo di convergenze e applicazioni dell’identità di Parseval.

Lezione 06/10/20: Sviluppo in serie di Fourier di polinomi trigonometrici. Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario: definizioni e esempi di calcolo.

Lezione 09/10/20: Equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili lineari: introduzione del problema, linearità dell’operatore differenziale associato, problema di Cauchy nel semipiano. Caso dei coefficienti costanti: teorema di esistenza e unicità della soluzione classica del problema di Cauchy, dimostrazione della formula risolutiva.

Lezione 12/10/20: Equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti costanti sul semipiano e nel primo quadrante: esempi, calcolo delle caratteristiche, risoluzione di esercizi.

Lezione 13/10/20: Equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti costanti sulla semistriscia. Esempi nel caso di funzioni regolari a tratti. Richiami su teoremi di esistenza locale e globale per soluzioni di equazioni differenziali ordinarie

Lezione 16/10/20: Equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili lineari a coefficienti non costanti: metodo risolutivo ed enunciato del teorema di esistenza e unicità, esempi di risoluzione.

Lezione 19/10/20: Equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili nonlineari: equazioni semilineari, equazioni quasilineari della forma u_t+q’(u)u_x=0, teorema di esistenza e unicità e suo corollario, costruzione delle caratteristiche e della soluzione in forma implicita.

Lezione 20/10/20: Equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili quasilineari: non validità della condizione di segno, caso di funzioni regolari a tratti, onda di rarefazione, esempi.

Lezione 23/10/20: Problema di Riemann per equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili quasilineari: metodo di risoluzione con onde di rarefazione, onda d’urto, condizione di Rankine-Hugoniot, onde non fisiche, vari esempi.

Lezione 26/10/20: Applicazioni delle equazioni alle derivate parziali del prim’ordine in due variabili. Equazione delle onde in due variabili nel semipiano: costruzione della soluzione nel caso di condizioni iniziali omogenee, teorema di esistenza e unicità nel caso generale, esempi. Modelli del traffico: ipotesi costitutive e interpretazione fisica, problema del traffico con ingorgo in x=0 (onda d’urto), problema del traffico con semaforo in x=0 (onda di rarefazione).

Lezione 27/10/20: Equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia: presentazione del problema, interpretazione fisica, problema di Cauchy-Dirichlet con condizioni al bordo omogenee, definizione di soluzione classica. Costruzione della soluzione: metodo di separazione delle varabili, struttura della soluzione del problema al contorno associato, prolungamento dispari periodico di funzioni, teorema di esistenza di soluzioni classiche del problema con dimostrazione, effetto regolarizzante dell’operatore del calore.

Lezione 30/10/20: Esempi di risoluzione di problemi di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia, anche nel caso di dati iniziali che non soddisfano le ipotesi di compatibilità. Problema di Cauchy-Neumann per l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia: interpretazione fisica, definizione di soluzione classica, costruzione della soluzione per separazione delle variabili, prolungamento pari periodico di funzioni, teorema di esistenza di soluzioni classiche del problema.

Lezione 02/11/20: Teoremi di esistenza di soluzioni (classiche e regolari) per il problema di Cauchy-Neumann per l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia ed esempi di risoluzione. Problema di Cauchy-Dirichlet nella semistriscia nel caso non omogeneo (f=f(x), dati di Dirichlet costanti): costruzione della soluzione, esistenza di soluzioni classiche, convergenza uniforme alla soluzione stazionaria, dimostrazione di due stime di convergenza.

Lezione 06/11/20: Problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore non omogenea in due variabili nella semistriscia (f=f(x), dati di Dirichlet costanti): esempi di risoluzione e calcolo della stima di convergenza alla soluzione stazionaria. Problemi di Cauchy-Dirichlet/Neumann per l’equazione del calore non omogenea in due variabili nella semistriscia (f=f(x,t), dati di Dirichlet/Neumann omogenei): costruzione delle soluzioni ed esistenza di soluzioni classiche e regolari, esempi di risoluzione.

Lezione 09/11/20: Problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea in due variabili nella semistriscia con dati di Dirichlet di tipo polinomiale: costruzione delle soluzioni ed esistenza di soluzioni classiche, esempi di risoluzione. Principio del massimo: definizione di frontiera parabolica e interno parabolico, enunciato del principio del massimo, dimostrazione dell’unicità della soluzione classica di problemi di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore in un rettangolo utilizzando il principio del massimo.

Lezione 13/11/20: Principio del massimo e sue conseguenze: massimo del modulo di una soluzione, dipendenza continua dai dati di soluzioni di problemi di Cauchy-Dirichlet in un rettangolo, confronto tra soluzioni. Esempi di applicazione del principio del massimo per trovare massimi/minimi di soluzioni di problemi di Cauchy-Dirichlet in rettangoli. Richiami sulla sommabilità di funzioni in intervalli illimitati o in intervalli in cui la funzione non è continua: definizioni di funzione sommabile, teoremi del confronto e corollari per verificare la sommabilità di funzioni.

Lezione 16/11/20: Problema di Cauchy per l’equazione del calore omogenea in due variabili nel semipiano: condizione di Tychonoff, esistenza e unicità (locale) della soluzione classica del problema nello spazio di Tychonoff, formula risolutiva con dimostrazione della sommabilità, nucleo del calore con relative proprietà, casi di esistenza globale in tempo della soluzione.

Lezione 20/11/20: Risoluzione di esercizi su problemi di Cauchy per l’equazione del calore omogenea in due variabili nel semipiano con l’utilizzo di integrali di Gauss e integrali notevoli.

Lezione 23/11/20: Utilizzo del metodo risolutivo per l’equazione del calore nel semipiano per risolvere problemi del secondo ordine più generali. Equazioni di Laplace e di Poisson: presentazione dei problemi, condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin. Richiami: definizione di dominio regolare, orientazione di una frontiera, funzioni biregolari, formule di Green in dimensione due e tre.

Lezione 27/11/20: Conseguenze delle formule di Green per funzioni armoniche: unicità della soluzione dei problemi di Dirichlet, Neumann (a meno di costanti) e Robin per l’equazione di Poisson, condizioni necessarie per l’esistenza di soluzioni di problemi di Neumann. Costruzione delle soluzioni fondamentali in dimensione due e tre, richiamo sul metodo risolutivo delle equazioni di Eulero, formule di rappresentazione usando le soluzioni fondamentali. Teoremi della media per funzioni armoniche in dimensione due e tre.

Lezione 30/11/20: Equazione di Laplace con condizioni di Dirichlet nel cerchio unitario: definizione di soluzione classica, teorema di esistenza e unicità, costruzione della soluzione per separazione delle variabili in coordinate polari, richiami sull’equazione di Eulero, scrittura della soluzione in serie e in forma integrale (integrale di Poisson), esempi.

Lezione 01/12/20: Dimostrazione della regolarità della soluzione classica di problemi di Laplace con condizioni di Dirichlet nel cerchio unitario. Equazione di Poisson con condizioni di Dirichlet nel cerchio unitario: costruzione della soluzione e metodo risolutivo attraverso sistemi di EDO, esempi. Equazione di Laplace con condizioni di Dirichlet in un anello: cenni sulla costruzione della soluzione per separazione delle variabili, esempi di risoluzione.

Lezione 04/12/20: Equazione di Laplace con condizioni di Dirichlet in un rettangolo: costruzione della soluzione per separazione delle variabili nel caso di un solo dato al bordo non nullo, teorema di esistenza della soluzione classica, estensione al caso di 4 dati al bordo non nulli, due teoremi di esistenza di soluzioni classiche con diverse condizioni di compatibilità dei dati.

Lezione 07/12/20: Esempio di risoluzione di problemi di Laplace con condizioni di Dirichlet in un rettangolo. Principio del massimo forte per funzioni armoniche e dimostrazione di un suo corollario, esempio di utilizzo del principio del massimo forte (e del suo corollario) per dimostrare disuguaglianze.

Lezione 11/12/20: Esempi di applicazione del principio del massimo forte (e del suo corollario). Funzioni di Green per aperti di R^2 e R^3: diagonale di un insieme, definizione e proprietà di funzioni di Green, formule di rappresentazione di soluzioni biregolari di problemi di Laplace-Dirichlet in termini delle funzioni di Green in R^2 e R^3, funzione di Green del semispazio z>0 e della sfera unitaria, formula di Poisson per la sfera unitaria.

Lezione 14/12/20: Esercizi di riepilogo sugli argomenti del corso con richiami di teoria: problema di Poisson-Dirichlet nel cerchio unitario, problema di Cauchy per un’equazione quasilineare del prim’ordine nel semipiano con esistenza e unicità di soluzione classica, problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea con esistenza e unicità di soluzione classica.

Lezione 15/12/20: Esercizi di riepilogo sugli argomenti del corso con richiami di teoria: applicazione del principio del massimo forte per funzioni armoniche, problema agli autovalori per l'operatore di Laplace con condizioni miste in un rettangolo, problema di Cauchy-Neumann per l’equazione del calore non omogenea con condizioni al bordo omogenee con esistenza e unicità di soluzione classica e regolare, problema di Cauchy per un’equazione lineare del prim’ordine nel semipiano con esistenza e unicità di soluzione classica.

Lezione 18/12/20: Esercizi di riepilogo sugli argomenti del corso con richiami di teoria: problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea con condizioni al bordo non omogenee con esistenza e unicità di soluzione classica e stima di convergenza alla soluzione stazionaria, problemi di Laplace-Dirichlet in corone circolari, problemi di Riemann per equazioni quasilineari del prim’ordine utilizzando onde di rarefazione e onde d’urto.

 

 

 

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