Diario delle lezioni (AA 17-18)
(“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario
intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in
omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo
Pisano, Liber Abaci)
"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."
G. Chaucer, The
In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti al libro di testo. Gli altri libri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.
25 settembre 2017 Lezione 1
Introduzione al corso di
Geometria. Come prepararsi ad un esame universitario di matematica.
26 settembre 2017 Lezione 2
Insiemi. Operazioni su
insiemi: unione, intersezione, complementare. Insieme delle parti. Prodotto
cartesiano di due insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di
equivalenza. Esempi. Relazione di congruenza.
Esercizio: Determinare la
classe di equivalenza (o classe di congruenza) di 1234567 modulo 11, in
particolare determinare il più piccolo intero non negativo della sua classe di
congruenza.
[Cap 1.1, 1.2, 1.3]
27 settembre 2017
Lezione 3
Funzioni o applicazioni,
Iniettive, Suriettive, Biettive.
Dominio, immagine, controimmagine, permutazioni. Composizione di applicazioni.
[Cap 1.4, 1.5]
28 settembre 2017
Lezione 4
Funzione identità. Funzione
inversa. Funzioni invertibili. Definizione di operazione binaria. Principio di
induzione.
[Cap 1.6, 1.7]
29 settembre 2017
Lezione 5
I numeri reali. I numeri
complessi. Coniugato. Modulo. Operazioni sui numeri complessi. Forma
trigonometrica dei numeri complessi.
[Cap 1.8, 1.9, 1.10]
2 ottobre 2017 Lezione 6
Formula di DeMoivre. Radici
n-esime di un numero complesso. Nozione di spazio vettoriale Rn. Operazioni su n-ple di numeri
reali. Combinazione lineare di vettori di Rn.
Vettori linearmente dipendenti e proprietà. [Cap. 1.10, 2.1, 2.2]
3 ottobre 2017 Lezione 7
Vettori linearmente indipendenti. Sottospazio vettoriale. Generatori di un sottospazio. Base di un sottospazio. Dimensione di un sottospazio. Ogni vettore di un sottospazio è combinazione lineare dei vettori di una base in modo unico. Base canonica o standard di Rn.
[Cap. 2.3, 2.4]
4 ottobre 2017 Lezione 8
Prodotto scalare tra vettori
di Rn. Matrici. Ordine di una matrice. Trasposta di una
matrice. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Struttura di spazio vettoriale
per matrici dello stesso ordine.
[Cap. 3.1, 3.2]
5 ottobre 2017 Lezione 9
Algoritmo di riduzione di
Gauss (Gauss-Jordan). Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta.
Soluzione di un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari
sulle equazioni di un sistema. Operazioni elementari sulle righe di una
matrice. Pivot.
[Cap. 3.3, 3.4]
6 ottobre 2017 Lezione 10
Equazioni lineari. Soluzione
di un’equazione lineare. Sistemi lineari. Soluzione di un sistema. Sistemi
equivalenti. Matrice del sistema, matrice completa del sistema. Matrici
equivalenti per righe. Unicità della forma a gradini ridotta di una matrice.
Rango per pivot di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei.
Moltiplicazione righe per colonne di una matrice. Alcune proprietà della
moltiplicazione: non commutatività. Matrici nilpotenti.
[Cap. 3.4, 3.5, 3.6]
9 ottobre 2017 Lezione 11
Invertibilità di una matrice.
Definizione di matrice identità e di matrice inversa. Algoritmo di
inversione. Inversa del prodotto di due
matrici.
[Cap. 3.6]
10 ottobre 2017 Lezione 12
Proprietà delle matrici
invertibili. Condizioni equivalenti all’invertibilità e dimostrazione.
[Cap. 3.6]
11 ottobre 2017 Lezione 13
Matrici elementari.
Introduzione al concetto di determinante. Definizione mediante prodotti
competenti e segno secondo la parità della permutazione.
[Cap. 3.6, 3.8]
12 ottobre 2017 Lezione 14
Cofattori o complementi
algebrici. Primo e secondoTeorema di
Laplace. Proprietà dei determinanti secondo le operazioni elementari. Legame
tra invertibilità di una matrice e valore del determinante.
[Cap. 3.8]
13 ottobre 2017 Lezione 15
Teorema di Binet. Una matrice
è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Matrice
aggiunta. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer.
[Cap. 3.8]
16 ottobre 2017 Lezione 16
Invertibilità di una matrice
e indipendenza delle sue righe e
colonne. Spazio delle righe e spazio
delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Rango per
minori. Teorema degli orlati. Coincidenza dei ranghi. Rango di una matrice.
[Cap. 3.8]
17 ottobre 2017 Lezione 17
Come trovare una base per lo
spazio delle colonne di una matrice. Alcuni esercizi per la risoluzione di un
sistema lineare in dipendenza da un parametro e mediante la regola di Cramer.
[Cap. 3.8, 3.9]
18 ottobre 2017 Lezione 18
Introduzione e motivazione
per la diagonalizzazione di matrici. Definizioni. Autovettori e autovalori.
Polinomio caratteristico e equazione caratteristica.
[Cap. 4.1, 4.2]
19 ottobre 2017 Lezione 19
Diagonalizzabilità in
relazione a una base costituita da autovettori. Autovettori relativi ad autovalori
distinti sono indipendenti. Molteplicità algebrica e geometrica. Esempi di
matrici non diagonalizzabili.
[Cap. 4.2]
20 ottobre 2017 Lezione 20
Criterio sufficiente per la
diagonalizzazione (autovalori distinti). Criterio necessario e sufficiente.
Matrici Simili. Proprietà delle matrici simili. Traccia e determinante di una matrice come coefficienti
del polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton . Calcolo dell’inversa
e delle potenze di una matrice quadrata mediante il teorema di Cayley-Hamilton.
[Cap. 4.3]
23 ottobre 2017 Lezione 21
Vettori liberi o geometrici
come classi di equipollenza. Operazioni sui vettori liberi e struttura di
spazio vettoriale su V2.
Significato geometrico di dipendenza e indipendenza lineare. Due vettori di V2
sono dipendenti se e solo se sono paralleli. Tre o più vettori sono sempre
dipendenti. Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Rappresentazione
cartesiana di vettori. Coordinate di un vettore libero. Prodotto scalare e suo significato
geometrico.
[Cap. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4,
5.5, 5.7]
24 ottobre 2017 Lezione 22
Parallelismo tra vettori.
Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier. Versore e normalizzazione di
un vettore. Formula intrinseca per il prodotto scalare. Formula per il coseno
dell’angolo tra due vettori. Punto medio di un segmento. Area di un triangolo.
[Cap. 5.6, 5.7, 5.8, 5.9]
25 ottobre 2017 Lezione 23
Equazione cartesiana di una
retta. Varie forme dell’equazione.
Parametri direttori e coseni direttori di una retta. Significato geometrico
dei coseni direttori. Angolo tra due rette. Scelta di una orientazione su una
retta.
[Cap. 5.10, 5.11, 5.14, 5.15]
26 ottobre 2017 Lezione 24
Intersezione e parallelismo
di rette. Fasci propri e impropri di rette.
Equazioni parametriche di una retta. Condizione di perpendicolarità.
Forma ridotta di una retta. Coefficiente angolare. Espressione delle condizioni
di parallelismo e di perpendicolarità tramite il coefficiente angolare.
[Cap. 5.12, 5.13, 5.15]
27 ottobre 2017 Lezione 25
Distanza punto-retta.
Cambiamenti di riferimento nel piano. Sistemi equiversi e contraversi. Matrice
del cambiamento. Definizione di matrice ortogonale.
[Cap. 5.16, 5.17]
30 ottobre 2017 Lezione 26 Cambiamento di coordinate di punto. Matrici
ortogonali. Esercizi. La circonferenza.
[5.17, 6.1]
31 ottobre 2017 Lezione 27 Ancora
sulla circonfrenza. Introduzione alle
coniche. Luoghi geometrici determinati da un fuoco F, una direttrice d, una
eccentricità e. Caso dell’ellisse.
[6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5]
1 novembre 2017 Vacanza
2 novembre 2017 Lezione 28 Ancora su equazioni canoniche di ellisse, iperbole,
parabola. Esercizi.
[6.4,6.5,6.6] [Capitolo 6 del
libro di esercizi]
3 novembre 2017 Lezione 29 Classificazione delle coniche. Coniche generali e coniche
degeneri. Coniche generali a centro. Centro di simmetria e assi di simmetria.
Asintoti di un’iperbole.
[7.1, 7.2, 7.4]
6 novembre 2017 Lezione 30
Asse di simmetria di una
parabola. Riduzione a forma canonica di coniche generali.
[7.3,7.5]
7 novembre 2017 Lezione 31
Metodo degli invarianti.
Ampliamento del piano e punti impropri. Equazioni in coordinate omogenee.
[7.6, 7.7]
8 novembre 2017 Lezione 32
Coniche classificate mediante
i punti all’infinito. Ricerca di punti doppi e coniche degeneri. Centro di una
conica.
[7.7,7.8]
9 novembre 2017 Lezione 33
Curve piane. Curve in
coordinate polari. Equazioni delle coniche in coordinate polari. La
cardioide. Equazioni parametriche di
curve piane. Introduzione alla geometria dello spazio.
[Cap 8]
10 novembre 2017 Lezione 34
Orientazione dello spazio:
terne equiverse e contraverse. Definizione di prodotto vettoriale. Formula per il calcolo del prodotto
vettoriale. Significato geometrico del
modulo del prodotto vettoriale.
[Cap. 9.1, 9.2]
13 novembre 2017 Lezione 35
Prodotto misto e suo
significato geometrico. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo tra
piani. Parametri di giacitura. Vettore normale al piano. Euqazioni cartesiane
di una retta nello spazio.
[9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7]
14 novembre 2017 Lezione 36
Formule per i parametri
direttori di una retta nello spazio. Parallelismo di rette. Complanarità di
rette, rette sghembe.
[9.8, 9.9, 9.10]
15 novembre 2017 Lezione 37
Mutue posizioni di rette.
Stelle e fasci di rette. Parallelismo retta-piano. Perpendicolarità retta
–piano. Distanza punto-piano, tra due piani, tra rette parallele,
punto –retta , tra rette
sghembe.
[9.11, 9.12, 9.14, 9.15,
9.18]
16 novembre 2017 Lezione 38
Metodo dei punti mobili.
Retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe. Angoli: tra due rette,
tra due piani, tra piano e retta.
[9.13, 9.16, 9.17]
17 novembre 2017 Lezione 39
Sfera. Quadriche in forma
canonica. Qualche esempio di quadrica degenere: cono e cilindro.
[9.19, 9.20]
Una galleria
interattiva di quadriche
20 novembre 2017 Lezione 40
Introduzione alla nozione
astratta di spazio vettoriale. Vari esempi. Equazioni cartesiane di sottospazi
di Rn. Base e dimensione. Lemma dello scambio di Steinitz (con
dimostrazione).
[10.1, 10.2, 10.3, 10.4]
21 novembre 2017 Lezione 41
Operazioni sui sottospazi:
somma e intersezione. Relazione di Grassmann (senza dim.). Somma diretta di
sottospazi.
[10.5]
22 novembre 2017 Lezione 42
Introduzione alle
trasformazioni lineari. Definizione e vari esempi: rotazione, proiezione
ortogonale, riflessione. Esempi di matrici corrispondenti.
Definizione di nucleo e
immagine di una trasformazione. Il nucleo è un sottospazio.
[11.1,11.2,11.3]
23 novembre 2017 Lezione 43
L’immagine di una
applicazione lineare è un sottospazio. Calcolo del nucleo e dell’immagine e
relazione con i sistemi lineari. Monomorfismi e nucleo nullo. Teorema delle
dimensioni (con dimostrazione).
[11.3]
24 novembre 2017 Lezione 44
Dimostrazione del Teorema
delle dimensioni. Corollario. Coordinate di un vettore rispetto ad una base
ordinata.
[11.3]
Ore 9:45 Saluto del
Presidente del Corso di Laurea in Ing. Elettronica Prof. Marzano.
27 novembre 2017 Lezione 45
Modello universale di spazio
vettoriale. Matrici associate ad una trasformazione lineare.
[11.4, 11.5]
28 novembre 2017 Lezione 46
Matrice della composizione di
due applicazioni. Matrice di cambiamento di base. Legame tra due matrici di uno
stesso endomorfismo. Definizione di determinante di un endomorfismo, traccia di
un endomorfismo, autovettori e autovalori di un endomorfismo.
[11.5, 11.6, 11.7]
29 novembre 2017 Lezione 47
Endomorfismi e
Diagonalizzazione. Dimostrazione della relazione tra due matrici di uno stesso
endomorfismo. Nozioni metriche. Procedimento di Gram-Schmidt.
[11.8, 12.1]
Per gli studenti di Ing. delle Comunicazioni: qui
trovate il link al questionario richiesto dal Consiglio di Area
Didattica di Comunicazioni.
30 novembre 2017 Lezione 48
Disuguaglianza di Schwarz.
Complemento ortogonale di un sottospazio. Somma diretta di un sottospazio e del
suo complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sviluppo
di Fourier.
[12.1]
1 dicembre 2017
Lezione 49
Teorema di approssimazione.
Proprietà importanti delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale.
Teorema degli Assi Principali.
[12.2]
4 dicembre 2017 Lezione 50
Forme quadratiche.
Definizione di forme quadratiche definite positive, definite negative,
semidefinite, indefinite. Loro caratterizzazione mediante il Teorema degli assi
principali. Caratterizzazione mediante i minori principali (senza dim.).
[12.3]
5 dicembre 2017 Lezione 51
Metodo dei minimi quadrati.
Equazioni normali.Relazione tra il rango di una matrice A e di ATA.
Invertibilità di ATA. Pseudoinversa di A. Matrice standard della
proiezione ortogonale su un sottospazio.
Introduzione agli spazi
euclidei generali.
[12.4, 12.6]
6 dicembre 2017 Lezione 52
Nozione generale di spazio euclideo
e di prodotto scalare. Vari esempi. Definizione di base ortogonale.
Procedimento di Gram-Schmidt. Polinomi interpolatori di Lagrange.
[12.6]
7 dicembre 2017 Lezione 53
Una applicazione dei polinomi
di Lagrange. Matrice di un prodotto scalare. Definizione di curva parametrica.
Curva semplice e curva regolare.
[12.7, 13.1, 13.2, 13.3]
8 dicembre 2017 Vacanza
11 dicembre 2017 Lezione 54
Curve piane e curve sghembe.
Curve regolari a tratti. Lunghezza di una curva. Elica. Astroide. Rette secanti
e tangenti. Piano osculatore.
[13.4, 13.5, 13.9]
12 dicembre 2017 Lezione 55
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
13 dicembre 2017 Lezione 56
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
14 dicembre 2017 Lezione 57
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
15 dicembre 2017 Lezione 58
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
18 dicembre 2017 Lezione 59
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
19 dicembre 2017 Lezione 60
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
Foto ricordo ed auguri. Grazie a tutti, siete stati simpaticissimi. La foto
apparirà qui presto. Buon Natale.
20 dicembre 2017 Esercitazione
Dott. Gubbiotti
(N.B. Gli argomenti delle lezioni future sono solo
indicativi e sono scritti in corsivo.
Una volta che la lezione sarà stata svolta, gli argomenti svolti appariranno in
caratteri tondi)
Vecchi compiti d’esame: http://www.dmmm.uniroma1.it/~capparelli/stdinfo/testiesamigeometria.html
Bibliografia
Libro di testo (teoria):
S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova
edizione (copertina blu), (Esculapio, 2015)
ERRATA CORRIGE
del testo (grazie delle segnalazioni, continuate a segnalare)
Libro di esercizi: S.
Capparelli – A. Del Fra: Esercizi di
Geometria, Esculapio, Seconda edizione 2016 (copertina rossa)
ERRATA CORRIGE del testo di
esercizi
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