Troncamento dei vertici di un cubo
Costruzione del cubottaedro a partire dal cubo
Per mezzo del file costruzione poliedro costruiamo un cubo.
Vogliamo troncare il vertice A’ sezionando il cubo per mezzo del piano passante per i punti medi dei tre spigoli concorrenti nel suo vertice A’.
Per far ciò disegniamo i punti medi M, M’ e M’’ dei tre spigoli ed il piano a’ passante per essi.
Disegniamo poi la porzione di cubo delimitata dal piano a’ non contenente il punto A’ usando lo strumento Seziona poliedro.
Rendiamo infine visibile lo scheletro del cubo.
Vogliamo ora troncare in modo analogo gli altri vertici del cubo. Cominciamo dal vertice B’.
Per determinare in modo veloce il piano passante per i punti medi degli spigoli concorrenti in B’, notiamo che la rotazione intorno alla retta r (che è perpendicolare alla faccia ABCD del cubo e passa per il centro O’ della faccia) che porta il punto A in A’, porta il cubo in se stesso.
E quindi i punti medi M, M’ e M’’ (e il piano a’ passante per essi) vengono portati nei punti medi degli spigoli concorrenti in B’ (e nel piano b’ passante per essi).
Il piano b’ è quindi l’immagine del piano a’.
In Cabri 3D c’è uno strumento che, assegnata una trasformazione dello spazio, disegna l’immagine di un piano (o di qualunque altro ente geometrico) attraverso la trasformazione. Lo utilizziamo per disegnare il piano b’. Sezioniamo infine il poliedro della figura precedente con il piano b’.
Operando in modo analogo tronchiamo anche i vertici C’ e D’.
Nella figura precedente abbiamo nascosto i piani con cui abbiamo troncato i vertici B’, C’ e D’.
Vogliamo ora troncare il vertice C.
Abbiamo bisogno del piano passante per i punti medi degli spigoli concorrenti in C.
Questo piano è l’immagine del piano a’ attraverso la simmetria centrale rispetto al centro V del cubo.
Per disegnare questo piano abbiamo usato lo strumento simmetria centrale di Cabri 3D.
Abbiamo infine sezionato il poliedro con questo piano.
Ruotando quest’ultimo piano intorno alla retta r e sezionando il poliedro con questo piano tronchiamo prima il vertice D, poi il vertice A e infine il vertice B.
Otteniamo il seguente poliedro che viene chiamato cubottaedro.
Cubottaedro.
Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) possiamo esaminare il cubottaedro ruotandolo (trascinando il punto A) o ingrandendolo (trascinando il punto R).
Il nome deriva dal fatto che, come vedremo in seguito, questo poliedro, si ottiene, oltre che dal cubo, anche dall’ottaedro.
Il cubottaedro è noto fin dall’antichità.
È infatti stato descritto da Archimede (287 a.C. circa – 212 a.C.) insieme ad altri dodici poliedri.
Per questa ragione questi tredici poliedri vengono chiamati poliedri archimedei.
Siamo partiti da un cubo e siamo arrivati a un cubottaedro.
Confrontiamo i due poliedri.
Il cubo ha come facce poligoni regolari. Possiamo dire la stessa cosa per il cubottaedro?
Il cubottaedro ha come facce:
· otto triangoli, uno per ogni vertice del cubo,
· sei quadrilateri, uno per ogni faccia del cubo.
Si dimostra facilmente che i triangoli sono equilateri e che i quadrilateri sono quadrati.
Quindi il cubottaedro ha come facce poligoni regolari, così come il cubo.
La differenza è che mentre il cubo, come tutti gli altri poliedri platonici, ha facce tutte dello stesso tipo, il cubottaedro ha facce di tipo diverso.
Tutti i tredici poliedri archimedei hanno come facce poligoni regolari, ma non tutti dello stesso tipo.
Vedremo come costruire alcuni di questi.
Costruzione del cubo tronco a partire dal cubo
Per costruire il cubottaedro da un cubo abbiamo troncato i vertici del cubo per mezzo di piani passanti per i punti medi degli spigoli.
Vogliamo ora troncare i vertici del cubo per mezzo di piani passanti non più per i punti medi degli spigoli, ma per punti aventi la stessa distanza dai vertici del cubo.
Tronchiamo il vertice A’ per mezzo del piano a’’ parallelo al piano a’ e passante per un punto P del segmento AM.
Ora, analogamente a quanto fatto in precedenza, tronchiamo il vertice B’ per mezzo del piano immagine del piano a’ attraverso la rotazione intorno alla retta r che porta il vertice A’ nel vertice B’.
Tronchiamo poi tutti gli altri vertici del cubo in modo analogo a quanto fatto in precedenza. Otteniamo il seguente poliedro.
Da cubo a cubottaedro.
Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P da A’ a M possiamo vedere come si passa con continuità dal cubo al cubottaedro.
Il poliedro ha come facce triangoli equilateri e ottagoni.
I triangoli equilateri hanno lati di lunghezza uguale a x, dove x è la distanza tra P e A’.
Gli
ottagoni hanno quattro lati di lunghezza uguale a 
e quattro
lati di lunghezza 
, dove 
è la
lunghezza degli spigoli del cubo.
Si verifica facilmente che gli angoli degli ottagoni sono tutti uguali.
E
allora, perché gli ottagoni siano regolari, si deve avere 
. Cioè 
.
In
altre parole il punto P deve trovarsi nel punto T del segmento A’M
avente distanza da A’ uguale a 
.
La
distanza di T da D’ deve quindi essere uguale a 
,
che
è la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 
.
Per disegnare il punto T consideriamo quindi il quadrato D’M’M1M2 e ruotiamo la sua diagonale intorno a D’.
Il punto T cercato è l’intersezione del segmento AA’ con la circonferenza contenuta nel piano contenente il piano A’D’DA, di centro A passante per M1.
Pertanto, quando il punto P coincide con il punto T, otteniamo un poliedro avente come facce poligoni regolari. Si chiama cubo tronco.
È uno dei tredici poliedri archimedei.
Se muoviamo il punto P da A’ a T, e poi da T a M’, passiamo con continuità dal cubo, al cubo tronco e infine al cubottaedro.
Cubo
Da cubo a cubo tronco
Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P, passiamo con continuità dal cubo al cubo tronco.
Cubo tronco
Da cubo tronco a cubottaedro
Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P, passiamo con continuità dal cubo tronco al cubottaedro.
Cubottaedro
Chi vuole maggiori informazioni può vedere la presentazione fatta dagli studenti del Nomentano alla fine dell’attività dello scorso anno.