In molti campi della fisica e dell'ingegneria è necessario
ampliare il classico concetto di funzione per poter descrivere
alcuni fenomeni ad esempio di tipo impulsivo.
Le fondamentali esigenze sono:
- Descrizione della densità di cariche (o di masse) puntiformi
non descritte da nessuna funzione ordinaria;
- Possibilità di derivare (in senso generalizzato) funzioni
discontinue non dotate di derivate in senso ordinario.
Come vedremo, per far ciò, bisogna sostituire alla considerazione
del valore "puntuale delle funzioni" un certo "valore
globale" o "media generalizzata" assunto dalla
funzione in corrispondenza alle funzioni test
di un fissato spazio (di funzioni di "prova").
I criteri di scelta dello spazio delle funzioni test sono i seguenti:
- Siano "abbastanza" da poter individuare bene le
funzioni e le distribuzioni;
- Siano
in modo da poter
sempre dare significato alla derivazione;
- Siano sommabili su R assieme a tutte le derivate, tipicamente:
o nulle fuori di un limitato [D(R)],
o a decrescenza rapida [S(R)].