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18 Lo spazio S(R) delle funzioni test a decrescenza rapida e sua invarianza per trasformate di Fourier.

18.1 Definizione. se e solo se valgono le seguenti due condizioni:

a) ,

b) per ogni coppia di interi n,m esiste una costante che maggiora in modulo il momento n-imo della derivata m-ima, cioè

18.2 Proposizione. Tutti i momenti di tutte le derivate di sono funzioni sommabili in R.

Dimostrazione.

In ogni intervallo limitato [-R, R] sono sommabili perché continue; all' infinito, essendo

risultano sommabili per il criterio dell'infinitesimo.

18.3 Proposizione. Lo spazio S(R) è stabile sotto trasformata di Fourier.

Dimostrazione.

Posto

ricordiamo che (per derivazione sotto il segno di integrale) si ha:

e (per integrazioni, per parti, successive)

Consideriamo ora la trasformata di Fourier di che, in quanto combinazione di momenti di derivate, è certamente una funzione sommabile, posto:

risulta

Pertanto , cioè

.

Per dimostrare che di fatto F è una trasformazione biunivoca basta osservare che la stessa proprietà vale (ovviamente) anche per F-1 ossia:

cioè F è surgettiva e iniettiva in S.


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