a) ,
b) per ogni coppia di interi n,m esiste una costante che maggiora in modulo il momento n-imo della derivata m-ima, cioè
18.2 Proposizione. Tutti i momenti di tutte le derivate di sono funzioni sommabili in R.
Dimostrazione.
In ogni intervallo limitato [-R, R] sono sommabili perché continue; all' infinito, essendo
risultano sommabili per il criterio dell'infinitesimo.
18.3 Proposizione. Lo spazio S(R) è stabile sotto trasformata di Fourier.
Dimostrazione.
Posto
ricordiamo che (per derivazione sotto il segno di integrale) si ha:
e (per integrazioni, per parti, successive)
Consideriamo ora la trasformata di Fourier di che, in quanto combinazione di momenti di derivate, è certamente una funzione sommabile, posto:
risulta
Pertanto , cioè
.
Per dimostrare che di fatto F è una trasformazione biunivoca basta osservare che la stessa proprietà vale (ovviamente) anche per F-1 ossia:
cioè F è surgettiva e iniettiva in S.