17. Esempi di alcuni limiti nel senso della teoria delle distribuzioni.

Consideriamo la successione di funzioni per . Dimostriamo che in D'. Infatti posto si ha che:

e quindi

per ogni .

17.2 Esempio.

Consideriamo la successione

si ha:

Infatti

e, detta una primitiva di , si ha che:

.

Introdotta la variabile , ed essendo ovviamente

, si ha:

da cui segue:

.

17.3 Esempio.

Sia e consideriamo

e passiamo al limite per (nel senso di D' ). Notiamo che se si ha:

cioè .

Poiché

(con funzione test) esiste una maggiorante sommabile indipendente da e quindi passando al limite sotto il segno di integrale (per il teorema di Lebesgue) risulta:

.

Supponiamo ora in modo che:

ne segue:

Avendosi a secondo membro una maggiorante sommabile indipendente da , per il teorema di Lebesgue del passaggio al limite sotto il segno di integrale risulta:

pertanto

cioè

in D.

Derivando rispetto ad x si ha:

Questa formula si può ricondurre alla formula di Socockij.

17.4 Esempio.

Consideriamo, per la successione generalizzata

,

l'esempio 4.5 mostra che

.