20.1 Esempio. Trasformata di Fourier di 1.
per le formule dell'antitrasformata.
Pertanto
ossia .
Trasformata di Fourier di eix.
cioè:
Trasformata di Fourier di .
Essendo , .
Si ha
Trasformata di Fourier di una distribuzione a supporto compatto.
Per le distribuzioni a supporto compatto la trasformata di Fourier
si può calcolare con applicazione diretta sul nucleo .
Trasformata di Fourier del segno di x.
avendo posto
Ne segue
scambiando gli integrali
Decomponendo la funzione test nella sua parte pari (x) e nella sua parte dispari (x) si ha:
per il Lemma di Riemann-Lebesgue.
Pertanto:
Trasformata di Fourier del gradino matematico.
Poiché per il gradino matematico si ha:
risulta:
.
Trasformata di Fourier del treno di impulsi.
(cfr. es. 11.2 Serie di distribuzioni).
E' stato dimostrata, nel senso delle distribuzioni, l'uguaglianza:
per trasformazione di Fourier ne segue:
cioè un treno di impulsi si trasforma in un treno di impulsi.
Trasformata di Fourier di una funzione periodica.
Sia f(x) una funzione periodica di periodo 2 sviluppabile in senso di Fourier:
ove
allora:
.