Diario delle lezioni (AA 16-17)
(“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario
intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in
omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo
Pisano, Liber Abaci)
"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."
G. Chaucer, The
In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti al libro di testo. Gli altri libri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.
26 settembre 2016 Lezione 1
Introduzione al corso. Cenni
storici sull'algebra lineare e sulla geometria.
Problema delle parallele.
Girolamo Saccheri (1667-1733), J. Bolyai (1802-1860), N. Lobachevsky
(1792-1856). Eugenio Beltrami (1835-1899). B. Riemann (1826-1866). Geometrie
non euclidee.
Esercizio: studiare la
dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
(Conoscere le definizioni, il procedimento di risoluzione e la dimostrazione
della formula e qualche esempio). Vedere il seguente link per un esempio di applicazione di
matrici alla compressione di immagini.
27 settembre 2016 Lezione 2
Insiemi. Unione,
intersezione, complementare di insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni.
Relazioni di equivalenza. [1.1,1.2,1.3]
28 settembre 2016 Lezione 3
Classi di equivalenza.
Insieme quoziente. Congruenza modulo n. Funzioni: iniettive, suriettive,
biunivoche. Dominio, codominio. Permutazioni.
[1.4,1.5]
29 settembre 2016 Lezione 4
Controimmagine. Composizioni
di funzioni. Funzioni invertibili. Permutazioni di classe pari e dispari.
Operazioni.
[1.5,1.6]
30 settembre 2016 Lezione 5
Principio di induzione.
Formula per la somma di interi consecutivi, di interi dispari consecutivi.
Numero di sottoinsiemi di un insieme finito.
Nozione di campo: R, Q
sono campi. R è un campo ordinato
completo. Q è ordinato ma non
completo. C è completo ma non
ordinato.
[1.7,1.8]
3 ottobre 2016 Lezione 6
Numeri complessi. Operazioni
sui numeri complessi. Calcolo dell’inverso. Coniugato. Modulo. Significato
geometrico delle operazioni di somma e prodotto. Forma trigonometrica e
esponenziale di numeri complessi.
[1.9, 1.10]
4 ottobre 2016 Lezione 7
Potenze e radici di un numero
complesso. Teorema fondamentale dell’algebra.
Definizione di spazio
vettoriale Rn
[1.10, 2.1]
5 ottobre 2016 Lezione
8
Combinazione lineari di
vettori di Rn . Vettori
linearmente dipendenti e indipendenti.
[2.2]
6 ottobre 2016 Lezione 9
Sottospazi. Generatori di un
sottospazio. Base di un sottospazio. Dimensione. Base canonica di Rn
. Prodotto scalare in Rn .
[2.3,2.4]
7 ottobre 2016 Lezione 10
Matrici. Ordine di una
matrice. Operazioni su matrici. Spazio vettoriale delle matrici di ordine
fissato. Trasposta di una matrice. Proprietà. Matrici simmetriche e
antisimmetriche. Sottospazio delle matrici simmetriche e delle matrici
antisimmetriche. Base canonica.
[3.1,3.2]
Esercitazione venerdì 7 ottobre alle ore 12 in aula 3 Una breve
introduzione alla trigonometria rivolta a studenti che non l’hanno studiata a
scuola.
10 ottobre 2016 Lezione 11
Sistemi di equazioni lineari.
Soluzione di un sistema di equazioni lineari. Sistemi equivalenti. Operazioni
elementari sull equazioni di un sistema o sulle righe di una matrice.
Definizione di matrice a gradini. Pivot. Algoritmo di Gauss.
[3.3, 3.4]
11 ottobre 2016 Lezione 12
Algoritmo di Gauss-Jordan.
Rango per pivot. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sottospazio delle
soluzioni. Soluzioni base.
[3.4, 3.5]
12 ottobre 2016 Lezione 13
Moltiplicazione tra matrici.
Proprietà. Matrice identità. Matrici invertibili. Matrici inverse. Algoritmo di
inversione.
[3.6]
13 ottobre 2016 Lezione 14
Proprietà delle matrici
invertibili. Inversa del prodotto di due matrici. Teorema sulle condizioni
equivalenti per l’invertibilità. Matrici elementari.
[3.6]
14 ottobre 2016 Lezione 15
Proprietà delle matrici
elementari. Una matrice è invertibile se e solo se è prodotto di matrici
elementari. Fattorizzazione VA=R e cenni alla fattorizzazione LU. Definizione
del determinante di una matrice quadrata mediante i prodotti competenti.
Regola di Sarrus per matrici
3x3.
[3.6,3.7,3.8]
Esercitazione venerdì 14 ottobre alle ore 12 in aula 3
17 ottobre 2016 Lezione 16
Cofattori o complementi
algebrici. Primo Torema di Laplace. Proprietà dei determinanti e operazioni
elementari. Varie conseguenze. Secondo Teorema di Laplace.
[3.8]
18 ottobre 2016 Lezione 17
Determinante e invertibilità.
Teorema di Binet. Altre condizioni equivalenti all’invertibilità. Aggiunta di
una matrice quadrata. Formula di aggiunzione. Formula per la matrice inversa.
[3.8]
19 ottobre 2016 Lezione 18
Teorema di Cramer. Rango per pivot, per righe,
per colonne, per minori. Spazio delle righe e spazio delle colonne.
[3.8]
20 ottobre 2016 Lezione 19
Teorema del rango: il rango
per pivot, per righe, per colonne, per minori di una matrice A coincidono.
Applicazione del Teorema di Cramer ai sistemi non quadrati.
[3.8,3.9]
21 ottobre 2016 Lezione 20
Introduzione alla
diagonalizzazione di matrici. Definizione di matrice diagonalizzabile. Matrici
simili. Definizione di autovettori e autovalori. Polinomio caratteristico e
equazione caratteristica.
[4.1,4.2]
24 ottobre 2016 Lezione 21
Esistenza di autovalori e
teorema fondamentale dell’algebra. Calcolo di autovalori e autovettori. Matrice
diagonalizzante. Forma diagonale. Esempi. Due ostacoli alla diagonalizzazione
di matrici. Esempi di matrici non diagonalizzabili.
[4.2]
25 ottobre 2016 Lezione 22
Condizione sufficiente per la
diagonalizzazione di una matrice. Molteplicità algebrica e geometrica.
Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzazione.
[4.2]
26 ottobre 2016 Lezione 23
Matrici simili e loro
proprietà. Teorema di Cayley-Hamilton e alcune conseguenze.
Definizione di vettore
libero.
[4.3, 5.1]
27 ottobre 2016 Lezione 24
Spazio vettoriale V2
dei vettori liberi del piano. Significato geometrico della dipendenza e
indipendenza lineare in V2. Coordinate nel piano. Base ortonormale e
coordinate di punto e di vettore. Prodotto scalare. Condizione di ortogonalità
tra due vettori. Proiezione ortogonale.
[5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5,
5.6, 5.7]
28 ottobre 2016 Lezione 25
Condizione di parallelismo.
Versori. Formula intrinseca per il prodotto scalare. Formula per il coseno.
Area del triangolo.
[5.7, 5.8, 5.9]
Esercitazione venerdì 28 ottobre alle ore 12 in aula 3
31 ottobre 2016 Lezione annullata
La lezione del 31 ottobre è
annullata per disposizione del Rettore:
30-10-2016
Il Rettore della Sapienza, a seguito della decisione già
assunta dall'Amministrazione di chiudere il Rettorato, gli uffici e
le Segreterie nel ponte di Ognissanti per consentire a studenti e
personale di usufruire della festività, ha stabilito di estendere
la chiusura anche alle eventuali attività didattiche e di ricerca.
Tale decisione è stata assunta dopo le nuove forti scosse di terremoto che
hanno interessato il Centro Italia, allo scopo di consentire
verifiche tecniche sulle strutture degli edifici dell'Ateneo. I controlli,
secondo quanto previsto anche per le scuole di Roma, saranno condotti
nella giornata del 31 ottobre e, se necessario, del 1
novembre, in modo da garantire la regolare riapertura mercoledi 2.
Restano intanto sospese tutte le attivita universitarie presso
la sede di Rieti, già interrotte in accordo con il Sindaco dopo il terremoto
del 24 agosto.
La Sapienza si stringe alle popolazioni dell'Italia
centrale nuovamente colpite da violenti fenomeni sismici e conferma
la disponibilità delle competenze presenti in Ateneo per contribuire a
gestire le fasi dell'emergenza e quelle successive della ricostruzione.
2 novembre 2016 Lezione 26
Equazione cartesiana di una
retta. Equazioni parametriche. Casi particolari. Vettore direzione. Parametri
direttori. Intersezione e parallelismo di rette. Fasci propri e impropri di
rette. Perpendicolarità di due rette.
[5.10, 5.11, 5.12, 5.13,
5.14, 5.15]
3 novembre 2016 Lezione 27
Passaggio da equazioni
cartesiane a parametriche e viceversa. Coseni direttori. Angolo tra due rette e
tra due rette orientate. Esercizi.
[5.14, 5.15]
4 novembre 2016 Lezione 28
Distanza punto-retta. Cambiamento di riferimento nel piano:
coordinate di vettore. Sistemi equiversi e contraversi. Matrice del
cambiamento.
[5.16, 5.17]
Esercitazione venerdì 4 novembre alle ore 12 in aula 3
7 novembre 2016 Lezione 29
Cambiamento di coordinate di
punto. Matrici ortogonali. Esercizi.
[5.17]
8 novembre 2016 Lezione 30
Introduzione alle coniche. La
circonferenza. Luoghi geometrici determinati da un fuoco F, una direttrice d,
una eccentricità e. Caso dell’ellisse.
[6.1, 6.2, 6.3]
9 novembre 2016 Lezione 31
Equazioni canoniche di
ellisse, iperbole, parabola.
[6.3, 6.4, 6.4, 6.6]
10 novembre 2016 Lezione 32
Classificazione delle
coniche. Coniche generali e coniche degeneri. Coniche generali a centro. Centro
di simmetria e assi di simmetria.
[7.1, 7.2, 7.4]
11 novembre 2016 Lezione 33
Asintoti di un’iperbole. Asse
di simmetria di una parabola. Riduzione a forma canonica di coniche generali.
[7.3,7.5]
14 novembre 2016 Lezione 34
Metodo degli invarianti.
Ampliamento del piano e punti impropri. Equazioni in coordinate omogenee.
[7.6, 7.7]
15 novembre 2016 Lezione 35
Coniche classificate mediante
i punti all’infinito. Ricerca di punti doppi e coniche degeneri. Centro di una
conica.
[7.7,7.8]
16 novembre 2016 Lezione 36
Coordinate polari. Vari
esempi di curve piane in coordinate polari e in forma parametrica:
circonferenza, cardioide, quadrifoglio, coniche in forma polare, cicloide.
[Cap. 8]
https://www.dropbox.com/s/nwpj4maw5z6jxd3/cicloide.ggb?dl=0
https://www.dropbox.com/s/ogqn21c5ha75jfd/curva%20parametrica.ggb?dl=0
https://www.dropbox.com/s/pjbrjg9xhi6q69j/curve%201.ggb?dl=0
https://www.dropbox.com/s/x6388e0kyihupjn/curve%202.ggb?dl=0
https://www.dropbox.com/s/ss0frhdshfc9h6c/curve%203.ggb?dl=0
17 novembre 2016 Lezione 37
Introduzione alla geometria
dello spazio. Spazio vettoriale V3. Dipendenza lineare in V3. Basi equiverse e contraverse. Regola della
mano destra. Definizione di prodotto vettoriale. Definizione di prodotto misto.
Significato geometrico del prodotto misto.
[9.1, 9.2, 9.3]
18 novembre 2016 Lezione 38
Il prodotto misto e il volume
di un parallelepipedo. Condizione di complanarità di quattro punti o di tre
vettori. Equazione cartesiana di un piano. Vettore normale al piano. Condizione
di parallelismo di due piani. Fasci propri e impropri di piani. Equazioni di una retta nello spazio.
[9.4, 9.5, 9.6, 9.7]
18 novembre 2016 ore 12 Esercitazione
21 novembre 2016 Lezione 39
Formule per i parametri
direttori di una retta nello spazio. Parallelismo di rette. Complanarità di
rette, rette sghembe. Mutue posizioni di
rette nello spazio. Parallelismo retta-piano. Perpendicolarità retta-piano.
[9.8, 9.9, 9.10, 9.11, 9.12,
9.14, 9.15]
22 novembre 2016 Lezione 40
Distanze e angoli
[9.16, 9.17, 9.18]
23 novembre 2016 Lezione 41
Sfere e quadriche in forma
canonica.
[9.19, 9.20]
24 novembre 2016 Lezione 42
Introduzione alla nozione astratta
di spazio vettoriale. Vari esempi. Equazioni cartesiane di sottospazi di Rn.
[10.1, 10.2, 10.3]
25 novembre 2016 Lezione 43
Ancora esempi di spazi
vettoriali: successioni definite per ricorrenza, polinomi, matrici. Teorema di
completamento ad una base e di riduzione ad una base (esempi)
[10.3, 10.4]
(25 nov Tutor 1 a)
28 novembre 2016 Lezione 44
Basi e dimensioni. Varie
caratterizzazioni di base: scrittura unica, insieme minimale di generatori,
massimale di vettori indipendenti. Somma e intersezione di sottospazi. Formula
di Grassmann. (Le dimostrazioni della Prop. 10.4.5, Lemma 10.4.6, Prop.
10.4.11, 10.4.12, 10.5.2 sono facoltative)
[10.4, 10.5]
29 novembre 2016 Lezione 45
Somma diretta di due
sottospazi. Caratterizzazione. Esempi.
[10.5]
30 novembre 2016 Lezione 46
Introduzione alle
trasformazioni lineari. Definizione e vari esempi: rotazione, proiezione
ortogonale, riflessione, derivazione. Esempi di matrici corrispondenti.
[11.1,11.2]
1 dicembre 2016 Lezione 47
Nucleo di una applicazione
lineare. Immagine di una applicazione lineare. Sottospazi. Calcolo del nucleo e
dell’immagine e relazione con i sistemi lineari. Spazio delle colonne di una
matrice e immagine. Teorema delle dimensioni.
[11.3]
2 dicembre 2016 Lezione 48
Dimostrazione del Torema
delle dimensioni. Corollario.
[11.3]
(2 dic Tutor 1 b)
5 dicembre 2016 Lezione 49
Coordinate di un vettore
rispetto ad una base ordinata. Modello universale di spazio vettoriale. Matrici
associate ad una trasformazione lineare.
[11.4, 11.5]
6 dicembre 2016 Lezione 50
Matrice di cambiamento di
base. Legame tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Definizione di
determinante di un endomorfismo, traccia di un endomorfismo, autovettori e
autovalori di un endomorfismo. Diagonalizzazione.
[11.6, 11.7, 11.8]
7 dicembre 2016 Lezione 51
Spazi Euclidei. Procedimento
di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Schwarz. Complemento ortogonale di un
sottospazio. Proiezione ortogonale su un sottospazio (sviluppo di Fourier).
Teorema di approssimazione.
[12.1]
7 dicembre 2016 (invece del 9) Lezione 52
Diagonalizzazione ortogonale.
Caratterizzazione di matrici ortogonali. Proprietà di matrici simmetriche.
Teorema degli Assi Principali.
[12.2]
(9 dic Tutor 1 c)
12 dicembre 2016 Lezione 53
Forme quadratiche. Definizione
di forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite,
indefinite. Loro caratterizzazione mediante il Teorema degli assi principali.
Caratterizzazione mediante i minori principali (senza dim.). Metodo dei minimi
quadrati. Equazioni normali.
[12.3, 12.4]
13 dicembre 2016 Lezione 54
Relazione tra il rango di una
matrice A e di ATA. Invertibilità di ATA. Pseudoinversa
di A. Matrice standard della proiezione ortogonale su un sottospazio.
Introduzione agli spazi
euclidei generali.
[12.4, 12.6]
14 dicembre 2016 Lezione 55
Nozione generale di spazio
euclideo e di prodotto scalare. Vari esempi. Definizione di base ortogonale.
Procedimento di Gram-Schmidt. Polinomi interpolatori di Lagrange.
[12.6]
Il 14 dicembre pomeriggio alle
ore 16 in aula 7 del Castro Laurenziano si è tenuta una esercitazione con il
tutor.
15 dicembre 2016 Lezione 56
Una applicazione dei polinomi
di Lagrange. Matrice di un prodotto scalare. Definizione di curva parametrica.
Curva semplice e curva regolare.
[12.7, 13.1, 13.2, 13.3]
16 dicembre 2016 Lezione 57
Retta tangente. Varie forme
dell’equazione. Curva regolare a tratti. Lunghezza di una curva. Curve
rettificabili. L’astroide. Ascissa curvilinea. Parametrizzazione naturale.
[13.4, 13.5]
Il 16 dicembre pomeriggio
alle ore 16 in aula 7 del Castro Laurenziano si è tenuta una esercitazione con
il tutor.
19 dicembre 2016 Lezione 58
Curvatura. Versore tangente,
normale e binormale. Cenni alla torsione.
[13.7]
20 dicembre 2016 Lezione 59
Esercizi e ripasso
Alle ore 16 di martedì 20 in
Aula 1E (vedi mappa)
c’è stata una esercitazione/ricevimento del tutor.
21 dicembre 2016 Lezione 60
Esercizi e ripasso
Buon Natale!
Bibliografia
Libro di testo (teoria):
S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova
edizione (copertina blu), (Esculapio, 2015)
ERRATA CORRIGE
(grazie delle segnalazioni, continuate a segnalare)
Libro di esercizi: S.
Capparelli – A. Del Fra: Esercizi di
Geometria, Esculapio, Seconda edizione 2016 (copertina rossa)
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