Diario delle lezioni

Diario delle lezioni (AA 18-19)

(“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo Pisano, Liber Abaci)

"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."

G. Chaucer, The Canterbury Tales, Prologue

In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti al libro di testo. Gli altri libri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.

24 settembre 2018 Lezione 1

Introduzione al corso di Geometria. Come prepararsi ad un esame universitario di matematica. Notazione per insiemi. Sottoinsiemi. Insieme delle parti. Se un insieme ha n elementi il suo insieme delle parti ha 2ⁿ elementi.

Esercizio: Stimare il peso (in tonnellate) di 2⁶⁴ chicchi di grano.

E poi che le parole sue restaro,
non altrimenti ferro disfavilla
che bolle, come i cerchi sfavillaro.

L'incendio suo seguiva ogne scintilla;
ed eran tante, che 'l numero loro
più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla.

Dante, Paradiso, XXVIII, 88-93

(Cercando in rete trovo che un chicco di grano pesa 0.038 grammi, moltiplicando 0.038 per 2⁶⁴abbiamo 7.00976 10¹⁷ grammi, ossia 7.00976 10¹¹tonnellate di grano. La produzione mondiale di cereali secondo la FAO nel 2017 è stata di 2640 milioni di tonnellate. Occorrerebbero quindi oltre 265 anni di questa produzione per soddisfare la richiesta)

25 settembre 2018 Lezione 2

Insiemi. Operazioni su insiemi: unione, intersezione, complementare. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano di due insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Esempi. Relazione di congruenza.

[Cap 1.1, 1.2, 1.3]

26 settembre 2018 Lezione 3

Funzioni o applicazioni, Iniettive, Suriettive, Biettive. Dominio, immagine, controimmagine, permutazioni. Composizione di applicazioni. Funzione identità. Funzione inversa. Funzioni invertibili.

[Cap 1.4, 1.5]

Esercizio: Scrivere tutte le permutazioni di 3 elementi, calcolare qualche prodotto tra loro e dire quali sono le permutazioni pari e quali quelle dispari.

27 settembre 2018 Lezione 4

Definizione di operazione binaria. Principio di induzione. I numeri reali. I numeri complessi.

[Cap 1.6, 1.7,1.8]

28 settembre 2018 Lezione 5

Coniugato. Modulo. Operazioni sui numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di DeMoivre. Radici n-esime di un numero complesso.

[Cap 1.9, 1.10]

1 ottobre 2018 Lezione 6

Nozione di spazio vettoriale Rⁿ. Operazioni su n-ple di numeri reali. Combinazione lineare di vettori di Rⁿ. Vettori linearmente dipendenti e proprietà. Vettori linearmente indipendenti. Sottospazio vettoriale. Generatori di un sottospazio. Base di un sottospazio. [Cap. 2.1, 2.2, 2.3]

2 ottobre 2018 Lezione 7

Dimensione di un sottospazio. Ogni vettore di un sottospazio è combinazione lineare dei vettori di una base in modo unico. Base canonica o standard di Rⁿ. Prodotto scalare tra vettori di Rⁿ. Matrici. Ordine di una matrice. Trasposta di una matrice.

[Cap. 2.3, 2.4, 3.1]

3 ottobre 2018 Lezione 8

Matrici simmetriche e antisimmetriche. Struttura di spazio vettoriale per matrici dello stesso ordine. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema.

[Cap. 3.1, 3.2]

4 ottobre 2018 Lezione 9

Algoritmo di riduzione di Gauss (Gauss-Jordan). Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta. Equazioni lineari. Soluzione di un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Pivot. Matrice del sistema, matrice completa del sistema. Matrici equivalenti per righe. Unicità della forma a gradini ridotta di una matrice. Rango per pivot di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.

[Cap. 3.3, 3.4]

5 ottobre 2018 Lezione 10

Sistemi omogenei. Moltiplicazione righe per colonne di una matrice. Alcune proprietà della moltiplicazione: non commutatività. Matrici nilpotenti. Invertibilità di una matrice. Definizione di matrice identità e di matrice inversa.

[Cap. 3.4, 3.5, 3.6]

8 ottobre 2018 Lezione 11

Algoritmo di inversione. Inversa del prodotto di due matrici. Proprietà delle matrici invertibili. Condizioni equivalenti all’invertibilità e dimostrazione.

[Cap. 3.6]

9 ottobre 2018 Lezione 12

Matrici elementari. Una matrice è invertibile se e solo se essa è il prodotto di matrici elementari. (Il paragrafo 3.7 è facoltativo)

[Cap. 3.6]

10 ottobre 2018 Lezione 13

Introduzione al concetto di determinante. Definizione mediante prodotti competenti e segno secondo la parità della permutazione. Cofattori o complementi algebrici. Primo Teorema di Laplace. Proprietà dei determinanti secondo le operazioni elementari.

[Cap. 3.8]

11 ottobre 2018 Lezione 14

Legame tra invertibilità di una matrice e valore del determinante. Teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Una matrice è invertibile se e solo se le sue righe (colonne) sono linearmente indipendenti. Matrice aggiunta.

[Cap. 3.8]

12 ottobre 2018 Lezione 15

Secondo teorema di Laplace. Formula di aggiunzione. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer.

[Cap. 3.8]

15 ottobre 2018 Lezione 16

Invertibilità di una matrice e indipendenza delle sue righe e colonne. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Rango per minori. Teorema degli orlati. Coincidenza dei ranghi. Rango di una matrice.

[Cap. 3.8]

16 ottobre 2018 Lezione 17

Come trovare una base per lo spazio delle colonne di una matrice. Alcuni esercizi per la risoluzione di un sistema lineare in dipendenza da un parametro e mediante la regola di Cramer.

[Cap. 3.8, 3.9]

17 ottobre 2018 Lezione 18

Introduzione e motivazione per la diagonalizzazione di matrici. Definizioni. Autovettori e autovalori. Polinomio caratteristico e equazione caratteristica.

[Cap. 4.1, 4.2]

18 ottobre 2018 Lezione 19

Diagonalizzabilità in relazione a una base costituita da autovettori. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Criterio sufficiente per la diagonalizzazione (autovalori distinti).

[Cap. 4.2]

19 ottobre 2018 Lezione 20

Molteplicità algebrica e geometrica. Esempi di matrici non diagonalizzabili.

Criterio necessario e sufficiente. Traccia e determinante di una matrice come coefficienti del polinomio caratteristico.

[Cap. 4.3]

22 ottobre 2018 Lezione 21

Matrici Simili. Proprietà delle matrici simili. Teorema di Cayley-Hamilton . Calcolo dell’inversa e delle potenze di una matrice quadrata mediante il teorema di Cayley-Hamilton.

Vettori liberi o geometrici come classi di equipollenza. Operazioni sui vettori liberi e struttura di spazio vettoriale su V₂. Significato geometrico di dipendenza e indipendenza lineare. Due vettori di V₂ sono dipendenti se e solo se sono paralleli. Tre o più vettori sono sempre dipendenti. Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Rappresentazione cartesiana di vettori. Coordinate di un vettore libero.

[Cap. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5]

23 ottobre 2018 Lezione 22

Prodotto scalare e suo significato geometrico.

Parallelismo tra vettori. Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier. Versore e normalizzazione di un vettore. Formula intrinseca per il prodotto scalare. Formula per il coseno dell’angolo tra due vettori. Punto medio di un segmento. Area di un triangolo.

[Cap. 5.6, 5.7, 5.8, 5.9]

24 ottobre 2018 Lezione 23

Equazione cartesiana di una retta. Varie forme dell’equazione. Parametri direttori.

Intersezione e parallelismo di rette. Fasci propri e impropri di rette. Equazioni parametriche di una retta. Condizione di perpendicolarità. Forma ridotta di una retta. Coefficiente angolare. Espressione delle condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tramite il coefficiente angolare.

[Cap. 5.10, 5.11, 5.12, 5.13]

25 ottobre 2018 Lezione 24

Coseni direttori di una retta. Significato geometrico dei coseni direttori. Angolo tra due rette. Scelta di una orientazione su una retta.

[Cap. 5.13, 5.14, 5.15]

26 ottobre 2018 Lezione 25

Vettore normale ad una retta. Distanza punto-retta. Distanza tra rette parallele.

[Cap. 5.16]

29 ottobre 2018 Lezioni annullate per maltempo (ordinanza del sindaco)

30 ottobre 2018 Lezioni annullate per maltempo (ordinanza del sindaco)

31 ottobre 2018 Lezione 26

Cambiamenti di riferimento nel piano. Sistemi equiversi e contraversi. Matrice del cambiamento. Definizione di matrice ortogonale. Cambiamento di coordinate di punto. Matrici ortogonali.

[5.17] ]

1 novembre 2018 Vacanza

2 novembre 2018 Lezione 27

Esercizi. Luoghi di punti: asse di un segmento. La circonferenza.

[6.1]

5 novembre 2018 Lezione 28

Introduzione alle coniche. Luoghi geometrici determinati da un fuoco F, una direttrice d, una eccentricità e. Caso dell’ellisse, dell’iperbole e della parabola. Coniche degeneri.

[6.2, 6.3, 6.4,6.5,6.6] [v. Capitolo 6 del libro di esercizi]

5 novembre 2018 Lezione 29 (Esercitazione in orario di tutoraggio)

6 novembre 2018 Lezione 30

Classificazione delle coniche. Coniche generali a centro. Centro di simmetria e assi di simmetria. Asintoti di un’iperbole.

[7.1, 7.2]

7 novembre 2018 Lezione 31

Asse di simmetria di una parabola. Riduzione a forma canonica di coniche generali.

[7.3,7.5]

8 novembre 2018 Lezione 32

Metodo degli invarianti. [7.6]

9 novembre 2018 Lezione 33

Ampliamento del piano e punti impropri. Equazioni in coordinate omogenee.

Coniche classificate mediante i punti all’infinito. Ricerca di punti doppi e coniche degeneri. Centro di una conica.

[7.7,7.8]

12 novembre 2018 Lezione 34

Curve piane. Curve in coordinate polari. Lemniscate. Cicloide e trocoidi. La cardioide. Equazioni parametriche di curve piane.

Introduzione alla geometria dello spazio.

Orientazione dello spazio: terne equiverse e contraverse. Definizione di prodotto vettoriale. Formula per il calcolo del prodotto vettoriale.

[Cap 8, Cap 9.1, 9.2]

13 novembre 2018 Lezione 35

Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale. Prodotto misto e suo significato geometrico. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo tra piani. Parametri di giacitura. Vettore normale al piano.

[9.3, 9.4, 9.5, 9.6]

14 novembre 2018 Lezione 36

Equazioni di una retta nello spazio. Formule per i parametri direttori di una retta nello spazio. Parallelismo di rette. Complanarità di rette, rette sghembe. Mutue posizioni di rette.

[9.7, 9.8, 9.9, 9.10, 9.11]

15 novembre 2018 Lezione 37

Stelle e fasci di rette. Parallelismo retta-piano. Perpendicolarità retta –piano. Distanza punto-piano, tra due piani, tra rette parallele,

punto –retta , tra rette sghembe.

Metodo dei punti mobili. Retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe. Angoli: tra due rette, tra due piani, tra piano e retta.

[9.11, 9.12, 9.13, 9.14, 9.15, 9.16, 9.17,9.18]

16 novembre 2018 Lezione 38

Esercizi. Quadriche in forma canonica. Qualche esempio di quadrica degenere.

[9.19, 9.20]

Una galleria interattiva di quadriche

19 novembre 2018 Lezione 39

Introduzione alla nozione astratta di spazio vettoriale. Vari esempi. Equazioni cartesiane di sottospazi di Rⁿ. Base e dimensione.

[10.1, 10.2, 10.3]

20 novembre 2018 Lezione 40

Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente generato.

Base come insieme minimale di generatori o come insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Lemma dello scambio di Steinitz (con dimostrazione).

Invarianza del numero di vettori in una base (dimensione).

Operazioni sui sottospazi: somma e intersezione.

[10.4]

21 novembre 2018 Lezione 41

Relazione di Grassmann (senza dim.). Somma diretta di sottospazi.

Introduzione alle trasformazioni lineari. Definizione e vari esempi: rotazione, proiezione ortogonale, riflessione. Esempi di matrici corrispondenti.

[10.5, 11.1]

22 novembre 2018 Lezione 42

Definizione di nucleo e immagine di una trasformazione. Il nucleo è un sottospazio.

L’immagine di una applicazione lineare è un sottospazio. Monomorfismi e nucleo nullo.

[11.2, 11.3]

23 novembre 2018 Lezione 43

Dimostrazione del Teorema delle dimensioni.

Calcolo del nucleo e dell’immagine e relazione con i sistemi lineari.

Corollario.

[11.3]

26 novembre 2018 Lezione 44

Coordinate di un vettore rispetto ad una base ordinata. Modello universale di spazio vettoriale. Matrici associate ad una trasformazione lineare.

[11.4, 11.5]

27 novembre 2018 Lezione 45

Matrice della composizione di due applicazioni. Matrice di cambiamento di base. Legame tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Definizione di determinante di un endomorfismo, traccia di un endomorfismo, autovettori e autovalori di un endomorfismo.(Le dimostrazioni dei paragrafi 11.4,11.5,11.6,11.7, 11.8 sono facoltative)

[11.5, 11.6, 11.7, 11.8]

N.B. Avvio della Rilevazione Opinioni Studenti 2018-2019 per gli insegnamenti del primo semestre : “…Ogni docente, dovrà prevedere quindi un momento in aula di almeno 15 minuti per la compilazione attraverso l'uso dei dispositivi mobili degli studenti delle Opinioni degli Studenti.”

CODICE OPIS (per Ing. Comunicazioni): 9CH4ZCB1

CODICE OPIS (per Ing. Elettronica): JHNQW0FM

28 novembre 2018 Lezione 46

Nozioni metriche. Procedimento di Gram-Schmidt.

[11.8, 12.1] ]

29 novembre 2018 Lezione 47

Disuguaglianza di Schwarz. Complemento ortogonale di un sottospazio. Somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sviluppo di Fourier.

[12.1]

30 novembre 2018 Lezione 48

Teorema di approssimazione. Proprietà importanti delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale. Teorema degli Assi Principali.

[12.2]

3 dicembre 2018 Lezione 49

Dimostrazione delle proprietà delle matrici simmetriche. Dimostrazione del Teorema degli Assi Principali.

[12.2]

4 dicembre 2018 Lezione 50

Metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali. (Relazione tra il rango di una matrice A e di A^TA. Invertibilità di A^TA. Pseudoinversa di A.

Matrice standard della proiezione ortogonale su un sottospazio.)

Introduzione agli spazi euclidei generali.

[12.4, 12.6] (Gli argomenti tra parentesi sono facoltativi) (Il paragrafo 12.5 non fa parte del programma)

5 dicembre 2018 Lezione 51

Forme quadratiche. Definizione di forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite, indefinite. Loro caratterizzazione mediante il Teorema degli assi principali. Caratterizzazione mediante i minori principali (senza dim.). Nozione generale di spazio euclideo e di prodotto scalare.

[12.3]

6 dicembre 2018 Lezione 52

Vari esempi. Definizione di base ortogonale. Procedimento di Gram-Schmidt. Polinomi interpolatori di Lagrange.

Una applicazione dei polinomi di Lagrange. Matrice di un prodotto scalare.

[12.6, 12.7]

7 dicembre 2018 Lezione 53

Ancora esempi di spazi euclidei. Prodotto scalare Tr(AB^T). Esercizi vari.

10 dicembre 2018 Lezione 54

Definizione di curva parametrica. Curva semplice e curva regolare. Curve piane e curve sghembe. Curve regolari a tratti. Elica Circolare. Cardioide. Rette secanti e tangenti. Piano osculatore.

[13.4, 13.5, 13.9]

11 dicembre 2018 Lezione 55

Esercizi su curve, retta tangente e piano osculatore. Esercizi di ripasso.

Piano osculatore

12 dicembre 2018 Lezione 56