Tutti i risultati elencati sono stati dimostrati a lezione, se non diversamente specificato
Settimana 1
Lun 28/09: Presentazione del corso. Definizione di gruppo commutativo (o abeliano). Definizione di campo. Definizione di numeri complessi. I numeri complessi formano un campo. Forma cartesiana e trigonometrica dei numeri complessi. Modulo ed argomento di un numero complesso.
Mar 29/09: Presentazione del sito del corso. Proprietà del modulo di numeri complessi. Teorema fondamentale dell’algebra. Radici di polinomi di grado due.
Mer 30/09: Definzione di spazio vettoriale su un campo \(\mathbb K\). Esempi di spazi vettoriali: \(\mathbb R^2, \mathbb R^n, \mathbb K^n\); questi sono tutti esempi della forma \(\mathbb K^X\) con le operazioni indotte dalle operazioni sul co-dominio. (Appunti)
Giov 01/10: Matrici: somma e prodotto per scalari. Polinomi: somma e prodotto per scalari. Comandi MATLAB per caricare le matrici. Combinazioni lineari. Esempi ed esercizi sulle combinazioni lineari. Combinazioni convesse. Punto medio di un segmento. (Appunti)
Settimana 2
Lun 05/10: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 05/10: [1a ora] Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici del piano. (Appunti)
[2a ora] QUIZ.
Mar 06/10: Ancora sulle combinazioni lineari. Interpretazione geometrica dello Span di un vettore geometrico. Due vettori geometrici che non giacciono sulla stessa retta generano tutto lo spazio dei vettori geometrici del piano. Sottospazi vettoriali. Lemma di scambio. (Appunti)
Mer 07/10: Tutoraggio dalle 8 alle 9: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 07/10 (3 ore): Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza lineare. L’intersezione di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale. (Appunti)
Giov 08/10: Indipendenza lineare, esempi. Lemma di dipendenza e indipendenza lineare. Teorema fondamentale sull’indipendenza lineare. Definizione ed esempi di basi. Definizione di dimensione. (Appunti)
Settimana 3
Lun 12/10: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 12/10: Richiami (spazi vettoriali finitamente generati, sottospazi vettoriali, sottospazi generati, lemma di dipendenza/indipendenza lineare, teorema fondamentale sull’indipendenza lineare, basi, tutte le basi hanno la stessa cardinalità). Algoritmo di generazione di basi. Un insieme linearmente indipendente di uno spazio vettoriale finitamente generato si può completare ad una base. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Coordinate di un vettore in una base. Funzione coordinate è biiettiva e sua inversa. La dimensione di un sottospazio è minore o uguale alla dimensione dello spazio. (Appunti)
Mar 13/10: Un sottospazio vettoriale di \(V\) ha dimensione minore o uguale di \(V\) ed è uguale se e solo se coincide con \(V\). Somma di sottospazi. Formula di Grassmann. Esempi ed esercizi. (Appunti)
Mer 14/10: Tutoraggio dalle 8 alle 9. Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 14/10: Esercizi di riepilogazione sugli spazi vettoriali. (Appunti)
Giov 15/10: Somma diretta di sottospazi. Le matrici quadrate sono la somma diretta delle matrici simmetriche e di quelle anti-simmetriche. Esercizi di riepilogo sugli spazi vettoriali. (Appunti)
Settimana 4
Lun 19/10: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 19/10: Definizione di applicazione o funzione lineare. Esempi e non-esempi. La funzione “coordinate in una base” è lineare. Definizione di nucleo di una funzione lineare. Il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio. Una funzione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è il sottospazio nullo. Definizione di immagine di una funzione lineare. L’immagine di una funzione lineare è un sottospazio vettoriale del co-dominio. Teorema della dimensione (solo enunciato). (Appunti)
Mar 20/10: Dimostrazione del teorema della dimensione. Esempi ed esercizi. Una funzione lineare è univocamente determinata dai valori che assume su una base. Esempi ed esercizi. Esmpio di funzione lineare: la proiezione su un sottospazio lungo un suo supplementare. (Appunti)
Mer 21/10: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 21/10: Richiami su applicazioni lineari. Esercizi. Definizione di isomorfismo lineare. Ogni spazio vettoriale di dimensione \(n\) è isomorfo a \(\mathbb K^n\). Funzioni composte. La composizione di funzioni lineari è lineare. Inversa destra e sinistra di una funzione. Una funzione è ineittiva se esolo se ammette inversa sinistra. Una funzione è suriettiva se e solo se ammette inversa destra. Una funzione è biiettiva se e solo se ammette sia inversa destra che sinistra; in questo le due inverse coincidono e sono uniche e si chiamano inversa e la funzione si chiama invertibile. L’inversa di un isomorfismo lineare è lineare. Esercizi sulle inverse, nucleo ed immagine. (Appunti)
Giov 22/10: Applicazioni lineari da \(\mathbb K^n\) a \(\mathbb K^m\). Moltiplicazione a sinistra di una matrice per un vettore. Una funzione da \(\mathbb K^n\) a \(\mathbb K^m\) è lineare se e solo se è la moltiplicazione a sinistra per una matrice. Tale matrice ha per colonne le immagini degli elementi della base canonica di \(\mathbb K^n\). Esercizi sulla moltiplicazione a sinistra per una matrice. Esempi di funzioni lineari: la valutazione di un polinomio in un numero; la trasposta. Esercizio sulla proiezione su un sottospazio lungo un suo supplementare. (Appunti)
Settimana 5
Lun 26/10: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 26/10: Matrice associata ad un’applicazione lineare in una base del dominio ed in una base del co-dominio. Esempi: la valutazione di un polinomio in un punto; la trasposta. Rango di una matrice. Teorema della dimensione per matrici. Comandi MATLAB: sym, null, rank, ^(-1). La funzione coordinate nella base standard di \(\mathbb K^n\) è l’identità. (Appunti)
Mar 27/10: Prodotto di una riga per una colonna. La matrice associata alla composizione di due funzioni lineari: prodotto righe per colonne di matrici. Esempi ed esercizi. Comando MATLAB per il prodotto righe per colonne: *. (Appunti)
Mer 28/10: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 28/10: Utilizzo della matrice associata ad un’applicazione lineare per il calcolo di una base del nucleo e dell’immagine. Condizioni equivalenti di isomorfismo lineare. Matrice di cambiamento di base. Matrice di cambiamento di base dalla base canonica ad un’altra base. Definizione di matrice invertibile. Notazione per l’inversa di una matrice invertibile. Una matrice è invertibile se e solo se è una matrice di cambiamento di base. Una matrice rappresenta un isomorfismo lineare se e solo se è invertibile. Definizione di funzioni lineari simili. Enunciato del teorema di classificazione: due applicazioni lineari sono simili se e solo se hanno lo stesso rango, hanno dominio della stessa dimensione ed hanno co-dominio della stessa dimensione. (Appunti)
Giov 29/10: Matrice identità. Teorema di classificazione delle applicazioni lineari simili. Esempi di prodotti di matrice, prodotti di matrice a blocchi, prodotti di matrici con cambio di base. (Appunti)
Settimana 6
Lun 02/11: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 02/11: Esempio di come calcolare una base del nucleo di una matrice scegliendo opportunamente una base dell’immagine; matrice a scala ridotta o di Hermite associata ad \(A\) (primi cenni); comando MATLAB per la forma di Hermite o a scala ridotta di una matrice: rref. Creare matrici simboliche in MATLAB. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Esempio di come usare le operazioni elementari per trasformare una matrice nella sua forma a scala ridotta. (Appunti)
Mar 03/11: Definizione di matrice a scala ridotta (per colonne). Base del nucleo di una matrice a scala ridotta: soluzioni-base. Matrici elementari di tipo I, II e III. La moltiplicazione a sinistra per una matrice di tipo * produce un’operazione elementare di tipo * sulle righe della matrice. (Appunti)
Mer 04/11: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 04/11: Colonne dominanti di una matrice. Una matrice a scala ridotta o di Hermite è una matrice le cui colonne dominanti sono elementi della base canonica ordinati. Le colonne dominante formano una base dello spazio delle colonne. Una matrice invertibile definisce la funzione coordinate nella base composta dalle colonne della sua inversa. In particolare, le matrici elementari ed i loro prodotti sono matrici coordinate in una opportuna base. Teorema:** esistenza ed unicità della forma a scala ridotta di una matrice (l’unicità non è stata discussa per sbaglio); la dimostrazione usa l’algoritmo di eliminazione di Gauss. Per calcolare il rango ed una base dell’immagine di una matrice non è necessario trovare la forma a scala ridotta ma basta trovare una sua “forma a scala” (discussione informale). Definizione di pivot e di matrici a scala. La definizione di matrice a scala data in questa lezione conteneva una grave incorrettezzza; si prega di guardare gli appunti aggiornati e di correggere (Appunti)
Giov 05/10: Definizione (corretta!) di matrice a scala. Ogni matrice può essere trasformata in una matrice a scala mediante operazioni elementari sulle sue righe. In particolare, data una matrice \(A\), esiste una matrice invertibile \(C\) tale che \(CA=S\) è a scala. Le colonne dominanti di S corrispondono alle colonne dominanti di \(A\) e quindi la riduzione a scala può essere usata per il calcolo del rango e di una base dello spazio delle colonne di una matrice. Una matrice è invertibile se e solo se la sua forma a scala ridotta è l’identità. Una matrice quadrata \(A\) è invertibile se e solo se esiste una matrice \(B\) tale che \(AB=1\). Algoritmo di inversione: per trovare l’inversa di una matrice invertibile \(A\), bisogna trovare la forma a scala ridotta della matrice a blocchi \((A|\mathbb 1)\). Formula per l’inversa di una matrice 2x2. Esempio di come usare i cambiamenti di base: La funzione lineare \(p(x) \mapsto p(x+1)-p(x)\); polinomi di Lagrange. (Appunti)
Settimana 7
Lun 09/11: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 09/11: Ancora sull’esempio: \(p(x) \mapsto p(x+1)-p(x)\) ed i polinomi di Lagrange. Cambio di base tra basi non-standard di \(\mathbb K^n\) o dei polinomi. Utilizzo dell’algoritmo di Gauss per lo studio della dipendenza o indipendenza lineare di vettori e per estrarre basi da insiemi di generatori; trovare la matrice di cambiamento di base tra basi non-standard. Riepilogo su tecniche di calcolo tramite Gauss: base del nucleo, base dell’immagine, rango, inversa, indipendenze/dipendenza lineare, cambiamenti di base tra basi non standard; calcolo di \(B^{-1}C\). Funzioni alternanti sulle righe di matrici quadrate; funzioni multi-lineari sulle righe di una matrice quadrata. Teorema: Esiste un’unica funzione multilineare e alternante sulle righe che vale sull’identità. Tale funzione si chiama il determinante. (Appunti)
Mar 10/11: Dimostrazione dell’unicità nel teorema sul determinante. Determinante 2x2. Il determinante di una matrice a scala è uguale al prodotto degli elementi diagonali. Esempi. (Appunti)
Mer 11/11: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 11/11: Teorema di Binet. Sviluppo di Laplace del determinante lungo una riga (la dimostrazione è stata solo accennata in un esempio). In particolare, il determinante esiste. Per calcolare il determinante bisogna operare sulle righe per creare una riga con molti zeri e poi sviluppare lungo tale riga. (Appunti)
Giov 12/11: La trasposta del prodotto è il prodotto delle trasposte in ordine inverso. Se\(B\) e \(C\) sono invertibili, allora \(\mathrm{rg}(CA)=\mathrm{rg}(AB)=\mathrm{rg}(A)\). Il rango ed il determinante sono invarianti per trasposizione: ovvero \(\mathrm{rg}(A^t)=\mathrm{rg}(A)\) e \(\mathrm{det}(A^t)=\mathrm{det}(A)\). Operazioni elementari sulle colonne di una matrice. Sviluppo di Laplace del determinante lungo una colonna. (Appunti)
Settimana 8
Lun 16/11: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 16/11: Utilizzo del determinante per il calcolo dell’inversa: cofattori, matrice aggiunta, formula di Cramer (\(A\mathrm{Agg}(A)^t=\mathrm{det}(A) \mathbb{1}\)). Il determinante 2x2 come area orientata. Matrice e determinante di Vandermonde. (Appunti)
Mar 17/11: Esercizi sul calcolo dell’area di un poligono utilizzando il determinante, e sul determinante di Vandermonde. Calcolo del determinante di Vandermonde 3x3. Utilizzo del determinante per il calcolo del rango: minore di ordine \(k\), sotto-matrici orlate, teorema dei minori orlati (senza dimostrazione), esempi ed esercizi sul teorema dei minori orlati. (Appunti)
Mer 18/11: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 18/11: Sistemi di equazioni lineari: forma matriciale, teorema di Rouchè-Capelli, Teorema di struttura delle soluzioni. Esempi ed esercizi. (Appunti)
Giov 19/11: Formula di Cramer per la soluzione di un sistema lineare quadrato e non-singolare. Polinomio interpolatore. Moltiplicazione a destra per una matrice. Forma parametrica e cartesiana di un sottospazio vettoriale. (Appunti)
Settimana 9
Lun 16/11: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 23/11: I quattro sottospazi fondamentali associati ad una matrice. Algoritmo per la determinazioni delle equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale di \(\mathbb K^m\), conoscendone un insieme di generatori. Concetti generali di geometria affine: sottospazi affini, sottospazio di giacitura, dimensione di un sottospazio affine, parallelismo tra due sottospazi affini, condizioni di intersezione tra due sottospazi affini. (Appunti)
Mar 24/11: Equazioni cartesiane di un sottospazio affine di \(\mathbb K^n\). Geometria affine del piano:** equazioni parametriche e cartesiane delle rette di \(\mathbb K^2\), condizioni di parallelismo tra due rette in termini di ranghi e determinanti (a seconda delle forme in cui le rette sono date), condizioni di incidenza di due rette in termini di ranghi e determinanti (a seconda delle forme in cui le rette sono date), fascio di rette per un punto, equazioni delle retta per due punti distinti. (Appunti)
Mer 25/11: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 25/11: Condizione di allineamento di tre punti del piano. Condizione di concorrenza di tre rette del piano (ovvero condizioni affinchè tre rette si intersechino in uno stesso punto). Geometria affine dello spazio: equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di \(\mathbb K^3\), posizione reciproca di sottospazi affini: discussione dettagliata dei casi retta-retta e piano-retta. Rette sghembe. Fascio di piani per una retta. (Appunti)
Giov 26/11: Retta per due punti di \(\mathbb K^2\). Combinazioni convesse ed affini. Insiemi convessi, inviluppi convessi, inviluppi affini. Un sottospazio affine è un inviluppo affine. Esercizi su: sistemi lineari con parametro, posizione reciproca di sottospazi affini di \(\mathbb K^3\). (Appunti)
Settimana 10
Lun 30/11: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 30/11: Forme bilineari su uno spazio vettoriale \(V\). Matrice associata ad una forma bilineare in una base di \(V\). Se si cambia base la matrice cambia per congruenza (definizione di matrici congruenti). Forme bilineari simmetriche. Esempi di forme bilineari simmetriche: forme bilineari simmetriche su \(\mathbb K^n\); la forma bilineare standard di \(\mathbb K^n\) (associata alla matrice identità); la molitplicazione \(\mathbb L^2\) sulle funzioni continue da un intervallo di \(\mathbb R\) ad \(\mathbb R\); la forma bilineare “somma delle valutazioni in n+1 punti” se \(V\) sono i polinomi di grado al più \(n\). Basi ortogonali di \(V\) rispetto ad una forma bilineare simmetrica. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme non-degeneri. Teorema di Sylvester o della segnatura. (Appunti)
Mar 01/12: Richiami sulle forme bilineari. Dimostrazione del teorema di Sylvester. Forme bilineari definite/semidefinite positive/negative, non-degeneri, indefinite. Prodotti scalari. Norma. Versori. Versori direttori di una retta di \(\mathbb R^2\). Coseni direttori. (Appunti)
Mer 02/12: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 02/12: Richiami sulle forme bilineari simmetriche reali. Forme bilineari simmetriche: Ortogonale di un sottospazio vettoriale, la restrizione della forma ad un sottospazio è ancora una forma bilineare e simmetrica, la restrizione della forma ad un sottospazio vettoriale è non-degenere se e solo se l’intersezione con l’ortognale è banale, teorema di decomposizione ortogonale, teorema di esistenza di una base ortogonale. Basi di Sylvester per una forma bilineare simmetrica reale. (Appunti)
Giov 03/12: Richiami. Segnatura di una matrice simmetrica reale. Teorema di classificazione delle matrici simmetriche reali a meno di congruenza. Spazi euclidei: definizione di prodotto scalare, esempi di prodotto scalare, norma di un vettore, versori. Dividendo un vettore non-nullo per la sua norma si ottiene un versore. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale. Algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. (Appunti)
Settimana 11
Lun 07/12: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 07/12: Un insieme ortogonale è linearmente indipendente. Coefficienti di Fourier. Calcolo della proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale mediante i coefficienti di Fourier; versione matriciale \(QQ^t\) nel caso di \(\mathbb R^n\). Distanza tra vettori di uno spazio euclideo. Distanza tra sottospazi affini. Distanza tra un punto ed un sottospazio vettoriale. Teorema di Pitagora. Cenni a soluzioni approssimate di sistemi lineari non risolubili. Matrice di proiezione ortogonale (nella base standard) su un sottospazio vettoriale di \(\mathbb R^n\). Teorema: \(\mathrm{rg}(A^tA)=\mathrm{rg}(A)\). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di coseno dell’angolo tra due vettori di uno spazio euclideo. (Appunti)
Mar 08/12: Vacanza accademica
Mer 09/12: Tutoraggio dalle 08 alle 09: Correzione degli esercizi Settimanali. (Appunti)
Mer 09/12: Richiami sulla segnatura ed esempio. Disuguaglianza triangolare. Geometria del piano: versori; prodotto scalare standard nello spazio vettoriale dei vettori geometrici del piano e rappresentazione grafica di \(\mathbb R^2\) dotato del prodotto scalare standard; circonferenza unitaria; equazione cartesiana e parametrica di una circonferenza versori direttori e normali di una retta angolo tra due rette; pendenza di una retta; tangente dell’angolo tra due rette in funzione della loro pendenza; distanza punto-retta; rette tangenti ad una circonferenza in un punto. (Appunti)
Giov 10/12: Ancora sulla geometria analitica del piano: Asse di un segmento. Bisettrici di due rette. Isometrie di \(\mathbb R^2\): traslazioni, matrici di rotazione matrice di riflessione ortogonale attraverso una retta di pendenza \(m\). Matrici ortogonali. Geometria analitica dello spazio: basi equiverse e contraverse. Regola della mano destra. Prodotto vettore o vettoriale. Prodotto misto. Distanza tra due rette sghembe. (Appunti)
Settimana 12
Lun 14/12: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 14/12: Richiami di geometria del piano: rotazione attorno ad un punto, riflessione ortogonale attraverso una retta affine. Geometria dello spazio: richiami sul prodotto vettoriale; utilizzo del prodotto vettoriale per il calcolo di aree nello spazio; vettori normali e direttori di una retta ed un piano, usando il prodotto vettoriale; il determinante 3x3 come volume orientato; distanza punto-piano; distanza retta-retta; distanza punto-retta. Definizione di endomorfismo lineare diagonalizzabile; le rotazioni (di angoli diversi da \(0\) e \(\pi\)) non sono diagonalizzabili; le riflessioni ortogonali sono diagonalizzabili. (Appunti)
Mar 15/12: Autovettori ed autovalori. Polinomio caratteristico. Polinomio caratteristico 2x2 e 3x3 in termini della traccia e del determinante. Spettro di una matrice. Spettro di una matrice di rotazione. Il polinomio caratteristico è invariante per similitudini. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. La molteplicità geometrica è minore o uguale della molteplicità algebrica. Teorema di caratterizzazione delle matrici diagonalizzabili. (Appunti)
Mer 16/12: Una matrice avente tutti autovalori distinti è diagonalizzabile. Autovalori di una matrice triangolare superiore. Blocco di Jordan. Matrici ortogonali. Matrici ortogonalmente diagonalizzabili. Teorema spettrale (reale). La segnatura di una matrice simmetrica è uguale a (numero di autovalori positivi, numero di autovalori negativi). (Appunti)
Giov 17/12: Traccia e determinante come somma e prodotto degli autovalori. Calcolo delle potenze di una matrice diagonalizzabile. Teorema di Cayley-Hamilton (solo enunciato). Calcolo delle potenze e dell’inversa di una matrice usando il teorema di Cayley-Hamilton. Forme quadratiche in n variabili. Segnatura di una forma quadratica. Coniche. Classificazione affine e metrica delle coniche. Cambio di base affine e metrico per ridurre una conica a forma canonica. (Appunti)
Settimana 13
Lun 21/12: Ricevimento dalle 10 alle 12. (Appunti)
Lun 21/12: Esercitazione. Foglio di esercizi. Appunti.
Mar 22/12: Esercitazione. Foglio di esercizi. Appunti.