Tutti i risultati elencati sono stati dimostrati a lezione, se non diversamente specificato
Settimana 1
Lun 22.09 Presentazione del docente e della tutor. Presentazione della pagina web del corso. Descrizione della biblioteca, del centro di calcolo, dell’aula Ghizzoni e della fontanella. Descrizione dettaglaita della modalità di esame scritto e orale. Date degli esami. Definizione dei libri di testo adottati. Definizione dell’orario delle lezioni. Utilizzo di MATLAB e richiesta di iscrizione al corso MATLAB onramp.
Numeri naturali \(\mathbb{N}\), numeri interi \(\mathbb{Z}\), numeri razionali \(\mathbb{Q}\), numeri reali \(\mathbb{R}\). Cenni a classi di equivalenza. Operazione su un insieme. Proprietà di un’operazione: associatività, esistenza di un elemento neutro, opposto di un elemento, commutatività. Definizione di gruppo commutativo. Esempi e non-esempi di gruppi commutativi.
Simboli matematici: \(\{\cdots\}\), \((\cdots)\), \(\mid\), \(:=\).
Quantificatori: \(\forall\), \(\exists\).
Mar 23.09 Definizione di campo. Definizione di funzione. Immagine di una funzione. Simbolo matematico \(\exists!\). Definizione di polinomio a coefficienti in un campo. Grado di un polinomio. Notazioni: \(\mathbb{K}[x]\), \(\mathbb{K}[x]_{\le n}\). Somma e prodotto di polinomi. Valutazione di un polinomio in un numero. Radice o zero di un polinomio. Definizione dei numeri complessi \(\mathbb{C}\). Somma e prodotto in \(\mathbb{C}\). Teorema: \((\mathbb{C},+,\cdot)\) è un campo; definizione dell’inverso di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra. Radici di un polinomio di grado due.
Merc 24.09 Definizione di matrice \(m\times n\) a coefficienti o entrate o componenti in un campo \(\mathbb{K}\). Notazioni: \(\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{K})\). Componenti di una matrice. Notazioni: \(A_i^j=a_{ij}\). Matrici colonna. Notazione: \(\mathbb{K}^n\). Matrici riga. Notazione: \(\mathbb{K}_m\). Somma di matrici. Proprietà della somma di matrici: Le matrici mxn formano un gruppo commutativo rispetto alla somma. Prodotto per scalari nell’insieme delle matrici mxn. Proprietà del prodotto per scalari. Pivot ed indici-pivot di una matrice. Equazioni lineari in una variabile a coefficienti in un campo e descrizione delle loro soluzioni.
Comandi MATLAB: [–], sym(–), A(i,j), zeros.
Tutoraggio in presenza (gli esercizi si trovano nella pagina e-learning del corso).
Giov 25.09 Equazioni lineari in \(n\) variabili a coefficienti in un campo \(\mathbb{K}\): Matrice dei coefficienti e matrice completa associata; la matrice completa determina univocamente l’equazione; pivot; indice-pivot; variabile dominante e variabili libere; soluzioni. Equazioni lineari ridotte. Risoluzione di equazioni lineari ridotte. Combinazioni lineari e span di elementi di \(\mathbb{K}^n\). Somma di sottoinsiemi di \(\mathbb{K}^n\).
Comandi MATLAB: \(==\), \(\texttt{equationsToMatrix}\), \(\texttt{linsolve}\), \(\backslash\).
Settimana 2
Lun 29.09. Equazioni lineari omogenee. Risoluzione di equazioni lineari omogenee ridotte. Soluzioni-base di equazioni lineari omogenee ridotte. Notazione: \(S(A|b)\) e \(S(A)\). L’insieme delle soluzioni di un’equazione lineare omogenea ridotta è lo span delle sue soluzioni-base. Equazione omogenea associata ad un’equazione lineare. Equazione ridotta associata ad un’equazione lineare. Notazione: \(rref(A\mid b)\). Teorema: un’equazione lineare ridotta è risolubile se e solo se è nulla oppure il suo pivot non è il termine noto; in questo caso le soluzioni sono \(X_0+Span(\textrm{soluzioni-base dell’equazione omogenea associata})\). Teorema: \(S(A\mid b)=S(rref(A\mid b))\) (senza dimostrazione).
Comandi MATLAB: \( \texttt{null}, \texttt{rref}\).
Mar 30.09 Dimostrazione del Teorema: \(S(A\mid b)=S(rref(A\mid b))\). Esercizio con lo studio di un’equazione lineare in cinque variabili a coefficienti complessi. Abbiamo cominciato a parlare di sistemi lineari, ovvero sistemi di equazioni lineari. Matrice dei coefficienti, matrice dei termini noti e matrice completa di un sistema lineare. Soluzioni di un sistema lineare. Notazione: \(S:(A\mid b)\) vuol dire che \(S\) è l’insieme delle soluzioni del sistema \((A\mid b)\). Sistemi e matrici a scala. Colonne dominanti di una matrice a scala. Variabili dominanti e variabili libere di un sistema a scala. Teorema: un sistema a scala è risolubile se e solo se ogni sua equazione è risolubile. Corollario: un sistema a scala è risolubile se e solo se la colonna dei termini noti della sua matrice completa non è dominante. Esercizio: Stabilire se una matrice data è combinazione lineare di alcune matrici.
Merc 01.10 Sistemi a scala ridotta: definizione e primo esempio. Matrici a scala ridotta. Sistemi omogenei. Un sistema omogeneo è riolubile. L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo con matrice dei coefficienti \(A\) si chiama il nucleo o kernel di A. Notazione: \(\textrm{Ker}(A)\). Sistema omogeneo associato ad una matrice. Sistema associato ad una matrice. Proposizione: le combinazioni lineari di soluzioni di un’equazione lineare omogenea sono ancora soluzioni. Soluzioni-base di sistemi omogenei a scala ridotta. Teorema: L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo a scala ridotta è lo span delle sue soluzioni-base. Trasposta e notazione \(X^t\).
Giov 02.10 Soluzioni di un sistema a scala ridotta. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema. Le operazioni elementari producono sistemi equivalenti. Matrici equivalenti per righe. Richiami sulle relazioni di equivalenza. “Essere equivalenti per righe” è una relazione di equivalenza. Operazioni elementari inverse. Teorema: Ogni matrice è equivalente per righe ad un’unica matrice a scala ridotta (senza dimostrazione). Forma a scala ridotta di una matrice. Notazione: \(\texttt{rref}(A)\). Algoritmo di Gauss. Se due matrici sono equivalenti per righe i sistemi lineari associati sono equivalenti ed i sistemi omogenei associati sono equivalenti. Esempi ed esercizi sull’algoritmo di Gauss e la forma a scala ridotta di una matrice.
Comando MATLAB: \(\texttt{rref}(A)\)
Settimana 3
Lun 06.10 Sottomatrici di una matrice. Notazioni: \(A([..],[..])), \(A(:,[..])) e \(A([..],:)). Forma a scala di una matrice. Formula che definisce le operazioni elementari sulle righe di una matrice. Lemma: Se A è equivalente per righe a B allora anche le sotto matrici supportate su alcune loro colonne sono equivalenti per righe, con le stesse operazioni elementari. Esercizio: le sottomatrici di una matrice a scala formata dalle prime colonne è a scala con gli stessi indici-dominanti. Prop: Se due matrici a scala sono equivalenti per righe allora hanno gli stessi indici dominanti. Indici-dominanti, colonne dominanti e rango di una matrice qualunque. Teorema: esistenza ed unicità della forma a scala ridotta di una matrice.
Comandi MATLAB: \(A([..],[..])), \(A(:,[..])) e \(A([..],:)), \(\texttt{rk}(A)\)
Mar 07.10 Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare. Tricotomia delle soluzioni di un sistema lineare. Sistemi lineari dipendenti da parametri. Sistemi lineari la cui matrice dei coefficienti ha rango massimo: se è uguale al numero di righe è sempre risolubile (per ogni scelta dei termini noti) se è uguale al numero di colonne ed è risolubile ha un’unica soluzione, se il numero di righe è uguale al numero di colonne il sistema è sempre risolubile ed ha un’unica soluzione. Utilizzo dei sistemi lineari per stabilire se una matrice di \(\textbb{K}^m\) è combinazione lineare di altre matrici. Ogni colonna di una matrice è combinazione lineare delle sue colonne dominanti (abbiamo visto che i coefficienti sono le colonne della sua forma a scala ridotta).
Merc 08.10 “Gli elementi” di Euclide. Definizione del piano euclideo \(\mathcal{E}^2\). Notazioni: \(P_1P_2\cdots P_n\), \(\lvert AB\rvert\). Richiami: poligoni convessi e concavi, semirette, semipiani, definizione di triangoli simili, criteri di similitudine dei triangoli. Esercizio: dimostrare i tre criteri di similitudine. Deifnizione di parallelogrammo. Teorema del parallelogramma (non-degenere). Teorema di Talete. Teorema di Tolemeo. Teorema di Pitagora.
Giov 09.10 Teorema del parallelogrammo degenere. Vettori geometrici del piano. Vettori geometrici equivalenti. Proposizione: “Essere equvialenti” è una relazione di equivalenza. Vettori geometrici applicati ad un punto. L’insieme \(\mathcal{V}_O^2\) dei vettori geometrici applicati ad un punto \(O\). Proposizione: ogni vettore geometrico è equivalente ad un unico elemento di \(\mathcal{V}_O^2\). Somma di vettori geometrici applicati in \(O\). Teorema: \((\mathcal{V}_O^2,+)\) è un gruppo commutativo.
Settimana 4
Lun 13.10 Richiami sulla somma di vettori geometrici. \(-\overrightarrow{OA}\equiv \overrightarrow{AO}\). Proposizione: \(\overrightarrow{AB}\equiv \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\). Prodotto per scalari in \(\mathcal{V}_O^2\). Teorema: proprietà del prodotto per scalari. Esercizi sui vettori geometrici.
Mar 14.10 Descrizione parametrica di una retta passante per \(O\) e sua parametrizzazione. Span di un vettore geometrico applicato ad \(O\). Lo span di \(\overrightarrow{OO}\) è il punto \(O\). Retta parametrica. Vettore direttore di una retta parametrica. Retta passante per due punti. Condizione di parallellismo di due rette parametriche. Condizione di incidenza di due rette parametriche. Descrizione qualitativa del punto di intersezione di due rette incidenti. Posizione reciproca di due rette. Posizione reciproca di un punto e di una retta. Posizione reciproca di due punti.
Merc 15.10 Condizione di incidenza punto-retta. Condizione di allineamento di tre punti. Il segmento. Combinazioni lineari di vettori geometrici in \(\mathcal{V}_O^2\). \(\mathrm{Span}(v_1,\cdots, v_n)\). Combinazioni convesse. \(\mathrm{Conv}(P_1,\cdots, P_n)\). Proposizione: \(\mathrm{Conv}(P_1,\cdots, P_n)\) è il più piccolo insieme convesso che contiene i punti \(P_1,\cdots, P_n\) e si chiama il loro inviluppo convesso (dimostrazione omessa). La funzione ``Area del parallelogrammo associato''; essa è simmetrica, non-negativa e bilineare. Il triangolo come combinazione convessa dei suoi vertici. Teorema: interpretazione geometrica dei coefficienti delle combinazioni convesse dei vertici di un triangolo. Analisi qualitativa della posizione di un punto di un triangolo, conoscendo i suoi coefficienti come combinazione convessa dei vertici. Baricentro di un triangolo.
Giov 16.10 Lezione annullata per assenza del docente.
Settimana 5
Lun 20.10 Proiezione su una retta lungo un’altra rette ad essa non-parallela. Notazione: \(\textrm{pr}_r^s:\mathcal{V}_O^2\rightarrow\mathcal{V}_O^2\). Proposizione: La proiezione su una retta lungo un’altra retta è una funzione lineare. Esempio di come usare la linearità come strumento di calcolo. Riferimento affine del piano. Notazione: \(RA(O,A,B)\). In \(RA(O,A,B)\), ogni vettore si scrive in maniera unica come combinazione lineare di \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\). Coordinate di un punto in un riferimento affine. Definizione preliminare di base. Due vettori applicati ad \(O\) e non-allineati formano una base di \(\mathcal{V}_O^2\). Dati tre punti \(P_1,P_2,P_3\) distinti e allineati su di una retta che non contiene \(O\), l’insieme \(\mathcal{T}=(P_1,P_2,P_3)\) non è una base di \(\mathcal{V}_O^2\) perchè il vettore nullo si scrive in due modi diversi come loro combinazione lineare.
Mar 21.10 Notazione: In RA(O,A,B), \(P=(x_1,x_2)^t\). Relazioni di dipendenza lineare tra vettori applicati ad uno stesso punto. Dipendenza/indipendenza lineare in \(\mathcal{V}_O^2\). Proposizione: un insieme è lin. Ind. se e solo se ogni vettore del suo span si scrive in maniera unica come combinazione lineare dei suoi elementi. Definizione di base di \(\mathcal{V}_O^2\). Analisi sulla dipendenza/indipendenza lineara di un insieme al variare della sua cardinalità. Proposizione: tutte le basi di \(\mathcal{V}_O^2\) hanno la stessa cardinalità. Definizione di dimensione di \(\mathcal{V}_O^2\). \(\textrm{dim }\mathcal{V}_O^2=2\). Coordinate in una base. La funzione “coordinate in una base”. Notazione: \(F_B\). La funzione \(F_B\) è lineare e invertibile. I punti del piano sono parametrizzati da \(\mathbb{R}^2\) e la parametrizzazione dipende dalla scelta di una base.
Mer 22.10 Geometria affine di \(\mathbb{R}^2\). Rette in \(\mathbb{R}^2\): condizione di parallelismo, condizione di incidenza. Condizione di incidenza punto-retta. Fascio di rette per un punto. Condizione di allineamento di tre punti. Retta per due punti.
Giov 23.10 Prerequisiti di trigonometria: definizione di angolo, angolo retto, angolo acuto, angolo ottuso, angolo piatto e angolo giro; ampiezza di un angolo (in gradi) e lunghezza di un angolo (in radianti); angoli formati da due vettori geometrici applicati ad uno stesso punto; vettori geometrici ortogonali; notazione: \(\hat{v_1v_2}\); somma degli angoli di un triangolo; triangolo acutangolo, ottusangolo, rettangolo; definizione di coseno, seno e tangenti di un angolo; relazione fondamentale della trigonometria; coseno e seno di una somma di angoli; teorema di Carnot o del coseno) e sua conseguenza per i triangoli. Definizione di forma bilineare su \(\mathcal{V}_O^2\). Definizione di determinante in \(\mathcal{V}_O^2\). Definizione di prodotto scalare in \(\mathcal{V}_O^2\). Il determinante è una forma anti-simmetrica. Il determinante vale zero se e solo se valutato su vettori linearmente dipendenti; il determinante preserva il prodotto per scalari in entrambe le variabili.
Settimana 6
Lun 27.10 Il determinante in \(\mathcal{V}_O^2\) è bilineare. Funzioni bilineari su \(\mathcal{V}_O^2\). Condizione di allineamento di tre punti in termini del determinante. Calcolo del determinante in \(\mathcal{V}_O^2\) in coordinate. Determinante \(2\times 2\): è una funzione delle colonne di una matrice \(2\times 2\). Dalla definizione segue subito che è anti-simmetrica e bilineare (sulle colonne) e che vale zero se e solo se le colonne sono linearmente dipendenti. Comportamento del determinante rispetto alle operazioni elementari sulle colonne di una matrice \(2\times 2\). Proposizione: \(det(A)=det(A^t)\) per ogni matrice \(A\) di taglia \(2\times 2\). Comportamento del determinante rispetto alle operazioni elementari sulle righe di una matrice \(2\times 2\).
Mar 28.10 Esercizio sul calcolo del determinante \(2\times 2\) utilizzando la sua bilinearità sulle colonne e sulle righe. Uso del determinante per il calcolo delle coordinate di un vettore geometrico in una base di (\mathcal{V}_O^2\). Formula di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare non-singolare in due variabili. Proprietà del prodotto scalare in \(\mathcal{V}_O^2\): il suo segno è positivo se e solo se l’angolo minore formato dai due vettori è acuto; vettori ortogonali; è una forma simmetrica; è una forma definita positiva; è una forma non-degenere. Teorema: il prodotto scalare è una forma bilineare (dimostrazione parziale). Prodotto scalare in coordinate: proprietà della matrice che ha per entrate prodotti scalari tra gli elementi di una base.
Merc 29.10 Fine della dimostrazione della blinearità del prodotto scalare in \(\mathcal{V}_O^2\). Matrici definite positive. Una matrice è definita positiva se e solo se è la matrice che ha per entrate i prodotti scalari tra gli elementi di una base di \(\mathcal{V}_O^2\). Notazione: \(A_{\mathcal{B}}\). La forma associata ad una matrice definita positiva si chiama prodotto scalare in \(\mathbb{R}^2\). Sistemi di rifermineto cartesiano. Sistemta di riferimento cartesiano standard. Basi ortonormali di \(\mathcal{V}_O^2\). Notazione: \(\mathcal{C}=(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\). Prodotto scalare standard o prodotto puntino in \(\mathbb{R}^2\). Distanza in \(\mathcal{V}_O^2\). Norma in \(\mathbb{R}^2\) (rispetto ad un prodotto scalare qualunque ed al prodotto scalare standard). Distanza punto-punto. Circonferenze. Equazione parametrica di una circonferenza.
Giov 30.10 Equazione cartesiana di una circonferenza. Versore associato ad un vettore. Versori direttori di una retta. Coseni direttori di una retta. Pendenza di una retta. Rette ortogonali. Vettori normali ad una retta. Equazione cartesiana di una retta. Fascio di rette per due rette. Proiezione ortogonale. Distanza punto-retta.
Settimana 7
Lun 03.11 Esercizi di riepilogo sulla geometria del piano: posizione reciproca di due rette (in forma cartesiana-parametrica, cartesiana-cartesiana, parametrica-parametrica); asse di un segmento; circocentro di un triangolo; bisettrice di un angolo; incentro di un triangolo.
Mar 04.11 Definizione di spazio vettoriale su un campo \(\mathbb{K}\). Dieci esempi di spazio vettoriale: \(\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{K})\), \(\mathbb{K}^n\), \(\mathrm{Ker}(A)\), \(\mathbb{K}\), \(\mathbb{C}\) come \(\mathbb{R}\)-spazio vettoriale, \(\mathbb{K}[x]\), \(\mathbb{K}[x]_{\leq n}\), \(\mathcal{V}_O^2\), \(\mathcal{V}_O^3\), \(X^\mathbb{K}\). Non-esempi: \(\emptyset\), \(S(A\mid b)\) con \(b\neq 0\). Prime proprietà degli spazi vettoriale: legge di annulamento della somma, legge di annullamento del prodotto per scalari. Combinazioni lineari e span. Uno span contiene sempre il vettore nullo ed i suoi generatori. Esempi di span: \(\mathcal{V}_O^2\), \(r_{OA}\), \(\mathcal{V}_O^3\). Non-esempi: ogni insieme che non contiene il vettore nullo. Su un campo infinito, uno span o ha un unico elemento oppure ne ha infiniti.
Merc 05.11 Generatori standard di \(\mathbb{K}^n\), di \(\mathbb{K}[x]_{\leq n}\) e di \(\mathrm{Mat}_{m\times n}\). Le colonne dominanti di una matrice \(A\) sono ottimi generatori di \(\mathrm{Col}(A)\). Sottospazi vettoriali: definizione, definizione equivalente, esempi e non esempi. Ogni Span è un sottospazio vettoriale. Sottospazio generato: l’intersezione di sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale. Somma di sottospazi vettoriali: esso è un sottospazio vettoriale ed è il sottospazio generato dall’unione dei due sottospazi vettoriali.