I poliedri archimedei ottenuti per espansione
Troncando i vertici dei cinque poliedri platonici si ottengono sette poliedri archimedei.
I poliedri archimedei sono tredici.
Ne mancano sei.
Quattro si ottengono con un’altra costruzione, chiamata espansione.
Keplero nei nomi di questi quattro poliedri ha inserito la parola rombi.
Vediamo di capire cosa è un’espansione usando l’immaginazione.
Partiamo da un cubo.
Trasliamo verso l’esterno ogni faccia del cubo lungo una retta perpendicolarmente alla faccia stessa. perpendicolarmente ad ogni faccia. La distanza tra una faccia traslata e la faccia originaria è uguale per tutte le facce.
Ogni vertice del cubo originario si è suddiviso in tre punti, uno per ogni faccia del cubo che insiste sul vertice stesso.
Uniamo i tre punti e formiamo un triangolo. Uno per ogni vertice del cubo originario.
Ogni spigolo del cubo originario si è suddiviso in due segmenti. Uniamo i due segmenti e otteniamo un rettangolo. Uno per ogni spigolo del cubo originario.
Così facendo abbiamo ottenuto un nuovo poliedro.
DOMANDA 3.
Scegliendo d in modo opportuno otteniamo un poliedro archimedeo. Quale?
Scrivete la risposta su uno dei fogli che vi abbiamo dato e spiegate perché.
Risposte degli studenti
Gli studenti del Galileo ne hanno costruito con Cabri 3D un modello virtuale. Vedere presentazione1.
Cliccare sulla figura 9 (serve il Plug-in di Cabri 3D).
Oppure, se si ha Cabri 3D, aprire il file cubo_a_rombicubottaedro.cg3
Uno studente del Galileo ha poi espanso l’ottaedro ed hanno mostrato che si può ottenere lo stesso poliedro ottenuto espandendo il cubo.
Ecco perché Keplero ha chiamato questo poliedro rombicubottaedro (è il quinto poliedro descritto da Pappo).
Vedere presentazione2.
Cliccare sulla figura 3 (serve il Plug-in di Cabri 3D).
Oppure, se si ha Cabri 3D, aprire il file da_cubo_a_rombicubottaedro_a_ottaedro.cg3.
Lo stesso studente hanno poi mostrato che espandendo un icosaedro o un dodecaedro si può ottenere lo stesso poliedro.
Ecco perché Keplero ha chiamato questo poliedro rombicosidodecaedro (è l’undicesimo poliedro descritto da Pappo).
Vedere presentazione2.
Cliccare sulla figura 7 (serve il Plug-in di Cabri 3D)
Oppure, se si ha Cabri 3D, aprire il file da_icosaedro_a_rombicosidodecaedro_a_dodecaedro.cg3
Altri due poliedri archimedei si ottengono per espansione da alcuni poliedri archimedei:
il grande rombicubottaedro che si ottiene dal cubo troncato o dall’ottaedro troncato (è il sesto poliedro descritto da Pappo)
il grande rombicosidodecaedro che si ottiene dall’icosaedro troncato e dal dodecaedro troncato (è il dodicesimo poliedro descritto da Pappo).
Keplero aveva usato per questi due solidi rispettivamente i nomi cubottaedro troncato e icosidodecaedro troncato perché aveva erroneamente pensato che si ottenessero dal cubottaedro e dall’icosidodecaedro.
Gli studenti del Galilei proveranno quest’anno a costruirne i modelli virtuali.