Diario delle lezioni (AA 12-13)
(“Si quid forte minus aut plus iusto
vel necessario intermisi, mihi
deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et
in omnibus undique sit circumspectus”,
Leonardo Pisano, Liber
Abaci)
In questo spazio saranno annotati, più o meno
quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi
quadre i riferimenti alla bibliografia. I principali testi di riferimento sono
i primi due. Gli altri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli
esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle
soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso.
Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere
scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete
segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di
testo.
1 ottobre 2012 Lezione 1
Introduzione al corso. Cenni storici
sull'algebra lineare e sulla geometria. Il "calcolo geometrico" di W.
G. Leibniz e di H. Grassmann.
Giuseppe Peano. Primi esempi di determinante: Leibiniz (Europa) e Seki
(Giappone) nello stesso anno: 1683. La teoria delle matrici nasce ufficialmente
solo intorno al 1850.
Ripasso dei metodi di risoluzione di sistemi di
equazioni lineari: sostituzione, Regola di Cramer,
Confronto, Eliminazione (Addizione o sottrazione). C.F. Gauss usò il metodo di
eliminazione, ma cenni al metodo sono contenuti nel manoscritto cinese
"Nove capitoli dell'arte matematica" del secondo secolo A.C.
Problema delle parallele. Girolamo Saccheri (1667-1733), J. Bolyai
(1802-1860), N. Lobachevsky (1792-1856). Geometrie
non euclidee.
Esercizio: studiare la dimostrazione della
formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
2 ottobre 2012 Lezione 2
Insiemi. Prodotto cartesiano tra insiemi.
Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Funzioni. Funzioni
iniettive, suriettive. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili.
Permutazioni. [1, Capitolo 1].
3 ottobre 2012 Lezione 3
Operazioni nell'insieme Rn. Concetto di
spazio vettoriale. Combinazione lineare. Dipendenza lineare. Generatori.
Sottospazio. [1, Capitolo 2].
4 ottobre 2012 Lezione 4
Vettori linearmente indipendenti. Base di uno
spazio vettoriale. Concetto di dimensione. Base canonica (naturale, standard)
di Rn.
[1,Capitolo 2], Esercizi [4, Capitolo 2]
5 ottobre 2012 Lezione 5
Esercizi sui sottospazi. Prodotto scalare in Rn.
Introduzione alle matrici. Ordine di una matrice. Struttura di spazio
vettoriale nell'insieme delle matrici. [2, Capitolo 1].
8 ottobre 2012 Lezione 6
Trasposizione di matrici e proprietà. Matrici
simmetriche. Definizione di prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto tra matrici.
Ordini compatibili. Prodotto non commutativo.
Introduzione al metodo di eliminazione di
Gauss. [2, Capitolo 1].
9 ottobre 2012 Lezione 7
Operazioni elementari sulle righe di una
matrice. Forma a scala di una matrice. Forma a scala ridotta. Pivot. Rango di
una matrice come numero dei pivot. Metodo di soluzione dei sistemi lineari
mediante la riduzione a scala. Sistemi omogenei. [2, Capitolo 1].
10 ottobre 2012 Lezione 8
Matrici non singolari definite come matrici di
rango massimo. Condizione di incompatibilità di un sistema: pivot nell'ultima
colonna della matrice completa o equivalentemente
rango di A diverso da rango di C.
Sistemi omogenei. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un
sottospazio vettoriale di dimensione n-r. Moltiplicazione
a blocchi di matrici.
Interpretazione di un sistema AX=B secondo le
colonne della matrice A.
11 ottobre 2012 Lezione 9
Definizione di matrice di adiacenza.
Definizione di matrice inversa. Algoritmo di inversione. Formula per la matrice
inversa nel caso di una matrice di ordine 2. [2, Capitolo 1].
12 ottobre 2012 Lezione 10
Proprietà della trasposizione di matrici.
Proprietà dell'inversione di matrici. Unicità della matrice inversa. Inversa di
un prodotto. Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari quadrati. Un
primo cenno alla regola di Cramer. [2, Capitolo 1]
15 ottobre 2012 Lezione 11
Condizioni di invertibilità di una matrice. [2,
Capitolo 1].
16 ottobre 2012 Lezione 12
Matrici elementari. Una matrice è invertibile
se e solo se è il prodotto di matrici elementari. Introduzione alla
decomposizione LU.
17 ottobre 2012 Lezione 13
Definizione di determinante usando i prodotti
competenti. Regola di Sarrus. Primo Teorema di Laplace. [1, sez.3.3]
Cofattori o complementi algebrici. Determinante
della matrice trasposta. [2, Capitolo 2]
18 ottobre 2012 Lezione 14
Operazioni elementari e proprietà del
determinante. Teorema di Binet (o del prodotto).
Dimostrazione del Teorema di Binet nel caso di
matrice invertibile. Secondo Teorema di Laplace. Matrice aggiunta. Formula di
aggiunzione. Formula per la matrice inversa. [1, Capitolo 3], [2, Capitolo 2].
22 ottobre 2012 Lezione 15
Matrici simili. Relazione di similitudine.
Matrice diagonalizzabile. Autovalori
e autovettori. Polinomio caratteristico. Equazione
caratteristica. Esempi di ordine 2. [2, Capitolo 2]
23 ottobre 2012 Lezione 16
Algoritmo di diagonalizzazione. Esempi di matrici non diagonalizzabili.
Matrici diagonalizzabili su C ma non su R.
[2, Capitolo2]
24 ottobre 2012 Lezione 17
Condizioni di diagonalizzabilità. Molteplicità algebrica e geometrica.
Proprietà delle matrici simili. Teorema di Cayley-Hamilton
(senza dimostrazione).[2, Capitolo 2]
25 ottobre 2012 Lezione 18
Conseguenze del Teorema di Cayley-Hamilton.
Calcolo delle potenze e dell'inversa mediante il teorema. [2, Capitolo 2]
26 ottobre 2012 Lezione 19
Rango per minori. Rango per righe. Rango per
colonne. Teorema degli orlati (senza dim.). Teorema del rango (senza dim.).
29 ottobre 2012 Lezione 20
Definizione di vettori liberi del piano. Spazio
vettoriale V2. Coordinate cartesiane ortogonali. Identificazione di
V2 con R2 .
[1, Capitolo 6].
30 ottobre 2012 Lezione 21
Prodotto scalare in V2 e R2 . Dipendenza lineare di
vettori e suo significato geometrico. Angolo tra vettori. Formula per il
coseno. Area di un triangolo e di un parallelogramma. [1, Capitolo 6].
31 ottobre 2012 Lezione 22
Condizione di allineamento di tre punti.
Equazione cartesiana di una retta. Equazioni parametriche di una retta.
Passaggio da equazione cartesiana ad equazioni parametriche e viceversa.
Parametri direttori. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità di due
rette. Angolo tra due rette. [1, Capitolo 6].
1 novembre 2012 Vacanza accademica
2 novembre 2012 Lezione 23
Esercitazione
5 novembre 2012 Lezione 24
Coseni direttori e loro significato geometrico.
Formula per la distanza punto-retta. Cambiamento di riferimento nel piano. [1,
Capitolo 6].
6 novembre 2012 Lezione 25
Cambiamenti di riferimento nel piano.
Cambiamento di base. Spostamento dell'origine. Matrici ortogonali. [1, Capitolo
6].
7 novembre 2012 Lezione 26
Esercizi sui cambiamenti di riferimento.
Matrici come trasformazioni del piano. [1, Capitolo 6]. Appunti
8 novembre 2012 Lezione 27
Matrici come trasformazioni del piano: il caso
della proiezione ortogonale su una retta. [1, Capitolo 6],[2, Capitolo 3,
paragrafo 5].
9 novembre 2012 Lezione 28
Definizione di trasformazione lineare. Matrice
standard di una applicazione lineare. Rotazioni del piano. Isometrie del piano.
Riflessioni del piano.
Composizione di trasformazioni. [1, Capitolo
6],[2, Capitolo 3, paragrafo 5].
12 novembre 2012 Lezione 29
Coniche come luoghi geometrici: parabola,
ellisse, iperbole. Equazioni canoniche. [1, Capitolo 6].
13 novembre 2012 Lezione 30
Classificazione delle coniche. Coniche degeneri
e non degeneri. Coniche generali a centro. Parabole. Metodo degli invarianti. [1,Capitolo
7].
14 novembre 2012 Lezione 31
Ampliamento del piano. Punti impropri.
Coordinate omogenee. Classificazione delle coniche mediante l'intersezione con
la retta impropria e mediante i punti doppi. [Questi argomenti sono
facoltativi] Appunti
15 novembre 2012 Lezione 32
Introduzione alla geometria analitica dello
spazio. Spazio dei vettori liberi V3. Coordinate cartesiane
ortogonali. Identificazione di V3 con R3. Basi equiverse e contraverse. Definizione di prodotto vettoriale.
Significato geometrico del prodotto vettoriale. Metodo di calcolo mediante
determinante. [1, Capitolo 8] [2, Sezione 3.4]
16 novembre 2012 Lezione 33
Prodotto misto. Significato geometrico del
prodotto misto. Condizione di complanarità di quattro punti. Equazione
cartesiana di un piano. Vettore normale al piano. Condizione di parallelismo
tra piani. Condizione di perpendicolarità tra piani. Fasci di piani. [1,
Capitolo 8]
19 novembre 2012 Lezione 34
Equazioni cartesiane e parametriche di una
retta. Parametri direttori. Condizione di parallelismo tra piani. Condizione di
perpendicolarità tra piani. Parallelismo retta-piano e perpendicolarità
retta-piano. [1,Capitolo 8]. Fascio di piani.
20 novembre 2012 Lezione 35
Posizioni relative di rette nello spazio: rette
incidenti, parallele, sghembe. Distanza tra rette parallele. [1, Capitolo 8]
21 novembre 2012 Lezione 36
Distanza tra rette sghembe. Calcolo della
perpendicolare comune a due rette sghembe. Distanza punto-piano. Distanza
punto-retta. [1, Capitolo 8]. Appunti
22 novembre 2012 Lezione 37
Equazione di una sfera. Circonferenza nella
spazio. Esempio di curva non piana: elica circolare. [1, Capitolo 8]
23 novembre 2012 Lezione 38
Esempi di quadriche in forma canonica:
ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi. Esempi di quadriche degeneri. [1,
Capitolo 8]
Nozione di gruppo. [1, Capitolo 10]
26 novembre 2012 Lezione 39
Esempi di gruppi abeliani
e non abeliani. Gruppi di matrici. Nozione di campo.
Esempi di campi finiti. [1,Capitolo 10] Appunti
27 novembre 2012 Lezione 40
Concetto generale di spazio vettoriale su un
campo K. Esempi: matrici, polinomi funzioni. [2, Capitolo 5.1]
28 novembre 2012 Lezione 41
Teorema fondamentale. Teorema di invarianza.
Lemma di indipendenza. Lemma di dipendenza. Teorema di esistenza delle basi.
[2, Capitolo 5.2, v. anche 2, Capitolo 4.3]
29 novembre 2012 Lezione 42
Trasformazioni lineari tra due spazi vettoriali
qualunque. Esempi. Alcune proprietà. Definizione di nucleo e immagine. [2,
Capitolo 5.3]
30 novembre 2012 Lezione 43
Ancora su nucleo e immagine come sottospazi.
Caratterizzazione di applicazioni lineari iniettive e suriettive. Esempi. Caso
delle applicazioni indotte da matrici e legami con la nozione di rango. [2,
Capitolo 5.3]
3 dicembre 2012 Lezione 44
Teorema delle dimensioni e sue conseguenze.
Esempi. Interpretazione del rango di una matrice come dimensione dell'immagine.
Spazio delle colonne di una matrice. Nucleo di una applicazione e annullatore
di una matrice. Isomorfismi. [2, Capitolo 5.3, 5.4]
4 dicembre 2012 Lezione 45
Tutti gli spazi di dimensione n sono tra loro
isomorfi. Coordinate rispetto ad una base ordinata. Isomorfismo CB . [2, Capitolo 5.4]
5 dicembre 2012 Lezione 46
Matrice del cambiamento di base. La matrice di
una trasformazione lineare. [2, Capitolo 5.4]
6 dicembre 2012 Lezione 47
Endomorfismi e similitudine: relazione tra due
matrici dello stesso endomorfismo. [2, Capitolo 5.5]
7 dicembre 2012 Lezione 48
Spazio delle colonne di una matrice e spazio
immagine di una matrice. Un endomorfismo è diagonalizzabile
se e solo se esiste una base costituita da autovettori.
Ortogonalità in Rn. Basi ortonormali.
[2, Capitolo 4.4.3, 5.5.3, 4.5.1, 4.5.2]
10 dicembre 2012 Lezione 49
Spazi euclidei.
Teorema dello sviluppo di Fourier.
Esistenza di basi ortogonali. Teorema di Gram-Schmidt.
[2, Capitolo 4.5.2, 4.5.3]
11 dicembre 2012 Lezione 50
Complemento ortogonale di un sottospazio
U. Teorema della proiezione. Teorema
dell'approssimazione. [2, Capitolo 4.6]
12 dicembre 2012 Lezione 51
Applicazione dei teoremi della proiezione e
dell'approssimazione alla soluzione approssimata di sistemi incompatibili.
Equazioni normali. [2, Capitolo 4.6]
13 dicembre 2012 Lezione 52
Proprietà delle matrici simmetriche. Proprietà
delle matrici ortogonali. Diagonalizzazione
ortogonale. Teorema degli assi principali. [2, Capitolo 4.7.1, 4.7.2, 4.7.3]
14 dicembre 2012 Lezione 53
Procedimento di diagonalizzazione
ortogonale. Prodotti scalari astratti. Esempi nello spazio dei polinomi,
matrici, funzioni. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
[2, Capitolo 4.7.3, 5.7]
17 dicembre 2012 Lezione 54
Dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortonormali di spazi euclidei
(Polinomi interpolatori di Lagrange, polinomi di Legendre). Proiezioni, approssimazioni in spazi euclidei
astratti: esempio dello sviluppo di Fourier. [2, Capitolo 5.7, v.anche 4.5.1].
18 dicembre 2012 Lezione 55
Esercizi.
19 dicembre 2012 Lezione 56
Esercizi.
20 dicembre 2012 Lezione 57
Esercizi.
21 dicembre 2012 Lezione 58
Esercizi.
Bibliografia