Algebre di Lie, polinomi ortogonali e combinatoria

Autore: 
Capparelli Stefano
Descrizione: 

Stefano Capparelli

1. Sviluppi moderni della Teoria delle algebre di  Lie e legami con la  Fisica Teorica.

L’applicabilità della geometria alla fisica è storicamente ben nota. A cominciare dalla fine degli anni 1970 c’è stato un rinnovato vigore nelle interazioni tra la geometria e la fisica, in particolare nelle teorie  quantistiche. La teoria delle algebre di operatori di vertice può essere vista come una generalizzazione della teoria delle algebre di Lie in dimensione infinita. Uno strumento importante per lo studio di queste algebre di dimensione infinita e di loro generalizzazioni sono i sistemi di radici ed i relativi gruppi di simmetria, detti gruppi di Weyl, che sono particolari tipi di gruppi di Coxeter. Questi gruppi hanno anche applicazioni allo studio dei politopi regolari, alle tassellazioni regolari del piano euclideo ed iperbolico, nonché alle algebre di Lie semisemplici e di Kac-Moody.

La nozione di Algebra di vertice (“Vertex Algebra”) fu introdotta da Richard Borcherds nel 1986 (Proc. Natl. Acad. Sci. USA 83, 3068-3071). Una variante di questa nozione detta Algebra di operatori di vertice (“Vertex Operator Algebra” VOA) fu introdotta negli stessi anni da Igor Frenkel, James Lepowsky e Arne Meurman (Vertex Operator Algebras and the Monster, Pure and Appl. Math , Vol 134, Academic Press, New York, 1988). Queste nozioni sono formulazioni algebriche di concetti che erano stati sviluppati indipendentemente da molti fisici teorici specialisti di teoria delle stringhe e teorie quantistiche dei campi, formalizzate nello stesso periodo temporale da A. Belavin, A.M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov (Nucl. Phys. B241 (1984),333-380) e che i fisici chiamavano “algebre di operatori” o “algebre chirali”.

La teoria delle stringhe si basa sulla premessa che le particelle elementari si manifestano come vibrazioni di stringhe fondamentali, piuttosto che come particelle puntiformi. Nel suo movimento una stringa descrive una superficie (“world-sheet”) nello spazio-tempo e risulta interessante considerare il caso in cui tale superficie sia una superficie di Riemann.

Negli stessi anni in cui la nozione di Algebra di vertice veniva introdotta, era in fase di completamento un vastissimo programma di classificazione dei gruppi semplici portato avanti alla Rutgers University da D. Gorestein e suoi collaboratori. Il più grande dei cosiddetti gruppi sporadici, di ordine circa 1054 , era stato previsto da B. Fischer e R. Griess e costruito da Griess nel 1982 come gruppo di automorfismi di una specialissima algebra, costruita ad hoc, di dimensione 196883. Frenkel, Lepowsky e Meurman costruirono un’algebra di operatori di vertice che come spazio vettoriale ha dimensione infinita e che contiene al suo interno, in maniera naturale, una rappresentazione del Mostro. In seguito, altri gruppi sporadici sono stati descritti tramite algebre di vertice.

La teoria delle algebre di vertice quindi si trova all’intersezione di vari importanti campi di ricerca sia in matematica che in fisica teorica.

Una delle motivazioni originarie che portò i matematici alla scoperta degli operatori di vertice, prima ancora della definizione generale della struttura di algebre di vertice, fu di tipo combinatorio. Si era notato il legame tra le rappresentazioni di algebre di Lie di Kac-Moody, una generalizzazione in dimensione infinita delle algebre di Lie semisemplici, e le famose identità combinatorie di Rogers e Ramanujan. J. Lepowsky e R. L. Wilson realizzarono tale rappresentazione mediante degli operatori differenziali costruiti ad hoc che in seguito risultarono essere simili ad operatori che venivano già usati in fisica: gli operatori di vertice, che nella teoria delle stringhe descrivono l’interazione di due stringhe ad un vertice.  

La mia attività di ricerca si è svolta in questo ambito. In particolare ho studiato nuove rappresentazioni di algebre di Lie affini mediante operatori di vertice, rappresentazioni che potrebbero avere applicazioni alla fisica teorica e alla combinatoria.

Questo campo di ricerca è molto vasto e coinvolge numerosi ricercatori nel mondo. Diamo di seguito alcuni riferimenti bibliografici essenziali.   

1.    K. Alladi, G. Andrews, B. Gordon, Refinement and generalizations of Capparelli’s conjecture on partitions, J. Algebra 174 (1995), 636-658.
2.    G. Andrews, Schur’s theorem, Capparelli’s conjecture, and q-trinomial coefficients, in: Proc. Rademacher Centenary Conf. (1992). Contemporary Math, 167, Amer. Math. Soc., Providence, 1994, 141-154.
3.    A. Beilinson, V. Drinfeld, Chiral Algebras, Colloquium Publications, Vol. 51, Amer. Math. Soc., 2004
4.    A. Belavin, A.M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov , Infinite conformal symmetries in two-dimesnional quantum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984),333-380.
5.    R.E. Borcherds, Vertex algebras, Kac-Moddy algebras, and the Monster, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 83, (1986) 3068-3071.
6.    S. Capparelli, A construction of the level 3 modules for the affine Lie algebra A2(2) and a new combinatorial identity of the Rogers-Ramanujan type, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), 481-501.
7.    S. Capparelli, J. Lepowsky, A. Milas, The Rogers-Ramanujan recursion and intertwining operators, Commun. Contmp. Math. 5, (2003), 947-966.
8.    I. Frenkel, J. Lepowsky, A. Meurman, Vertex Operator Algebras and the Monster, Pure and Appl. Math , Vol 134, Academic Press, New York, 1988.
9.    D. Gorenstein, Classifying the finite simple groups, Colloquium Lectures, Anaheim, January 1985, Amer. Math. Soc., Bull. Amer. Math. Soc. (New Series) 14 (1986), 1-98.
10.    M.B. Green, J.H Schwarz, Anomaly cancellations is supersymmetric D=10 gauge theory and superstring theory, Phys. Lett. 149B (1984), 117.
11.    R. L. Griess Jr., The Friendly Giant, Invent. Math. 69 (1982), 1-102.
12.    Y. Kawahigashi, R. Longo, Local conformal nets arising from framed vertex operator algebras, Adv. Math. 206 (2006), 729-751.
13.    J. Lepowsky, The work of Richard Borcherds, a segment of: The mathematical work of the 1998 Fields Medalists (J. Lepowsky, J. Lindenstrauss, Y. Manin and J. Milnor), feature article, Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999). 17-19.
14.    J. Lepowsky, R.L. Wilson The structure of standard modules, I: Universal algebras and the Rogers-Ramanujan identities, Invent. Math. 77 (1984), 199-290.
15.    G. Moore, N. Seiberg, Polynomial equations for rational conformal field theories, Phys. Lett. B212 (1988), 451-460
 

2. Combinatoria dei polinomi ortogonali

L'aspetto combinatorio dei polinomi ortogonali, come ad esempio i polinomi di Hermite, Laguerre, Chebyshev, è stato studiato da molti matematici. Si danno dei modelli combinatori che interpretano i coefficienti di questi polinomi. Spesso si cerca di dare una interpretazione combinatoria a identità soddisfatte da queste classi di polinomi. Importanti esempi di questo tipo di ricerca sono i lavori di D. Foata e G. Viennot.  In collaborazione con il prof. Maroscia, sto studiando anche alcune proprietà algebriche e combinatorie di notevoli classi, apparentemente nuove, di polinomi ortogonali. Questi sembrano correlati sia a polinomi ortogonali classici, del tipo di Chebyshev, sia a importanti matrici classiche (blocchi di Jordan, matrici di Hankel) che a successioni notevoli di interi (numeri di Catalan).

Bibliografia
1. S. Capparelli, P. Maroscia, On a class of polynomials related to the singular values of Jordan blocks, accepted
2.  T.S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, New York, London, Paris, 1978
3. D. Foata, Combinatoire des identités sur les polynomes orthogonaux, Proceedings Intl. Congress Math. Aug 16-24, 1983, Warszawa.
4. G. Szego, Orthogonal Polynomials Fourth edition. American Mathematical Society, Colloquium Publications, Vol. XXIII, 1975.
5. G. Viennot, A combinatorial theory for general orthogonal polynomials with extensions and applications,in “Polynomes orthogonaux et leurs applications”, Lecture Notes in Maths., no. 1171, eds. C. Brezinski, A. Draux, A. Magnus, P. Maroni, A. Ronveaux, Springer-Verlag, Berlin, 1985, p. 139-157.