I poliedri archimedei ottenuti per troncamento
Sette dei tredici poliedri archimedei si possono ottenere per troncamento.
Vediamo di capire cosa è un troncamento usando l’immaginazione.
Partiamo da un cubo.
Scegliamo un vertice del cubo che chiamiamo A.
Consideriamo il piano p passante per i punti medi dei tre spigoli del cubo concorrenti in A.
Il piano p taglia il cubo in due parti. Scegliamo la parte non contenente il punto A.
Abbiamo troncato il vertice A per mezzo del piano p.
Tronchiamo in modo analogo gli altri vertici del cubo.
Così facendo, partendo da un cubo, abbiamo otteniamo un nuovo poliedro. E’ un poliedro archimedeo.
DOMANDA 1.
Descrivete il poliedro archimedeo che avete ottenuto. Quale è tra quelli descritti da Pappo?
Scrivete la risposta su uno dei fogli che vi abbiamo dato e spiegate perché.
Risposte degli studenti
E ora una domanda più difficile.
Tronchiamo il cubo per mezzo di altri piani. Come prima usiamo l’immaginazione.
Prendiamo un punto P su uno degli spigoli concorrenti in A, vertice del cubo, avente una distanza d da A minore della metà della lunghezza degli spigoli del cubo.
Consideriamo il piano p’ passante per il punto P e parallelo al piano p visto prima (quello che passa dai punti medi degli spigoli concorrenti in A).
Il piano p taglia il cubo in due parti. Scegliamo la parte non contenente il punto A.
Abbiamo troncato il vertice A per mezzo del piano p’.
Tronchiamo in modo analogo gli altri vertici del cubo per mezzo di piani aventi sempre distanza d dai rispettivi vertici.
Prendendo un’opportuna distanza d otteniamo un nuovo poliedro archimedeo.
DOMANDA 2.
Descrivete il poliedro archimedeo che avete ottenuto. Quale è tra quelli descritti da Pappo?
Scrivete la risposta su uno dei fogli che vi abbiamo dato e spiegate perché.
Risposte degli studenti
Rispondere a queste domande non è stato semplice.
Gli studenti del Nomentano hanno costruito con Cabri 3D un modello virtuale che facilita la comprensione.
Vedere troncamento_cubo.
Cliccare sulla figura da cubo a cubo tronco (serve il Plug-in di Cabri 3D).
Oppure, se si ha Cabri 3D, aprire il file 1_da_cubo_a_cubottaedro.cg3
Gli studenti del Nomentano hanno poi costruito un modello virtuale che mostra come troncando un ottaedro in modo analogo a quanto fatto per il cubo si ottengono due poliedri archimedei:
- il cubottaedro; il cubo ottaedro si può ottenere quindi sia dal cubo che dall’ottaedro; ecco perché Keplero gli ha dato questo nome
- il terzo poliedro archimedeo descritto da Pappo. Keplero lo ha chiamato quindi ottaedro tronco.
Vedere troncamento_ottaedro.
Gli studenti poi fatto la stessa cosa per il tetraedro. troncamento_tetraedro.
Hanno mostrato che troncando il tetraedro si ottiene
- un ottaedro
- il primo poliedro archimedeo descritto da Pappo. Keplero lo ha chiamato quindi tetraedro tronco.
Gli studenti poi fatto la stessa cosa per l’icosaedro.
Hanno mostrato che troncando l’icosaedro si ottiene
- il settimo poliedro archimedeo descritto da Pappo. Keplero lo ha chiamato icosidodecaedro. Vedremo tra poco il perché di questo difficilissimo nome.
- l’ottavo poliedro archimedeo descritto da Pappo. Keplero lo ha chiamato quindi icosaedro tronco.
Vedere troncamento_icosaedro.
Gli studenti hanno infine fatto la stessa cosa per il dodecaedro.
Hanno mostrato che troncando il dodecaedro si ottiene
- l’icosidodecaedro. Abbiamo visto che esso si ottiene anche dall’icosaedro. Ecco perché Eulero lo ha chiamato così.
- il nono poliedro archimedeo descritto da Pappo. Keplero lo ha chiamato quindi dodecaedro tronco.
Vedere troncamento_dodecaedro.
Abbiamo quindi trovato sette poliedri archimedei troncando i vertici dei poliedri platonici con piani posti a distanze opportune dai vertici.
Gli studenti del Nomentano hanno costruito i primi sei di questi usando solo la riga e il compasso.
Più difficile è costruire con riga e compasso il dodecaedro tronco.
La sfida che lanciamo agli studenti del Nomentano è di fare ciò.
Ben difficilmente ci riusciranno quest’anno, ma siamo sicuri che alla fine ce la faranno.