Diario delle lezioni

Diario delle lezioni (AA 15-16)

(“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo Pisano, Liber Abaci)

"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."

G. Chaucer, The Canterbury Tales, Prologue

In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti alla bibliografia. I principali testi di riferimento sono i primi due. Gli altri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.

21 settembre 2015 Lezione 1

Introduzione al corso. Cenni storici sull'algebra lineare e sulla geometria.

Problema delle parallele. Girolamo Saccheri (1667-1733), J. Bolyai (1802-1860), N. Lobachevsky (1792-1856). Eugenio Beltrami (1835-1899). Geometrie non euclidee.

Esercizio: studiare la dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. (Conoscere le definizioni, il procedimento di risoluzione e la dimostrazione della formula e qualche esempio). Vedere il seguente link per un esempio di applicazione di matrici alla compressione di immagini.

22 settembre 2015 Lezione 2

Insiemi. Operazioni su insiemi. Prodotto cartesiano di due o più insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Insieme quoziente. [Cap. 1]

23 settembre 2015 Lezione 3

Relazione di congruenza sugli interi. Classi resto modulo n. Funzioni. Funzioni iniettive e suriettive. [Cap. 1]

24 settembre 2015 Lezione 4

Funzioni biunivoche. Composizione di funzioni. Funzione identità. Funzione inversa. Permutazioni. Scambi. Permutazioni pari e dispari. Principio di induzione. [Cap. 1]

25 settembre 2015 Lezione 5

Un insieme con n elementi possiede 2ⁿ elementi. I numeri reali: un campo ordinato e completo. Disuguaglianza triangolare. Disuguaglianza di Bernoulli. [Cap. 1]

28 settembre 2015 Lezione 6

Introduzione ai numeri complessi. Enunciato del Teorema Fondamentale dell’Algebra. Operazioni sui numeri complessi. Proprietà. Modulo. Coniugato. [Cap. 1]

29 settembre 2015 Lezione 7

Forma trigonometrica e esponenziale dei numeri complessi. Calcolo di potenze e radici di un numero complesso. Formula di De Moivre.

Definizione dello spazio vettoriale Rⁿ. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti o indipendenti. [Cap. 1, Cap.2]

30 settembre 2015 Lezione 8

Condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza lineare. Sottospazio generato da vettori. Vettori generatori. Base di un sottospazio. Dimensione di un sottospazio. Definizione di prodotto scalare in Rⁿ. Qualche proprietà. [Cap. 2]

1 ottobre 2015 Lezione 9

Definizione di sottospazio vettoriale. Base canonica di Rⁿ.

Introduzione alle matrici. Ordine di una matrice. Struttura di spazio vettoriale delle matrici di un ordine fissato. Trasposta di una matrice. Definizione di matrice simmetrica e antisimmetrica. [Cap. 2, Cap. 3]

2 ottobre 2015 Lezione 10

Sottospazio delle matrici simmetriche e sua dimensione.

Introduzione alla teoria generale dei sistemi di equazioni lineari. Prime definizioni: matrice di un sistema, matrice completa, soluzione di un sistema, sistemi equivalenti.

Operazioni elementari sulle righe. Matrici equivalenti per righe.

Matrici triangolari superiori e inferiori. [Cap. 3]

5 ottobre 2015 Lezione 11

Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta. Pivot. Rango di una matrice come numero di pivot. Riduzione a gradini di una matrice. Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari. [Cap.3]

6 ottobre 2015 Lezione 12

Algoritmo di Gauss e di Gauss-Jordan. Sistemi lineari omogenei. Autosoluzioni. Struttura di sottospazio dell’insieme delle soluzioni. Metodo per determinare una base. Torema di Rouché-Capelli. Prodotto righe per colonne. [Cap. 3]

7 ottobre 2015 Lezione 13

Proprietà del prodotto tra matrici. Matrice identità. Matrice invertibile. Algoritmo di inversione di una matrice. Proprietà delle matrici invertibili. Teorema sulle condizioni equivalenti di invertibilità. [Cap. 3]

8 ottobre 2015 Lezione 14

Dimostrazione del teorema sulle condizioni equivalenti di invertibilità. Matrici elementari. Una matrice è invertibile se e solo se è il prodotto di matrici elementari.

Cenno alla fattorizzazione LU. [Cap. 3]

9 ottobre 2015 Lezione 15

Definizione del determinante come somma di tutti i prodotti competenti. Regola di Sarrus per il determinante di ordine 3. Primo teorema di Laplace e conseguenze. Determinante e operazioni elementari. [Cap. 3]

12 ottobre 2015 Lezione 16

Proprietà del determinante. Determinante e invertibilità di una matrice. Teorema di Binet. Condizioni equivalenti per l’invertibilità di una matrice. [Cap. 3]

13 ottobre 2015 Lezione 17

Ancora condizioni equivalenti per l’invertibilità di una matrice. Secondo Teorema di Laplace. Matrice aggiunta. Formula di aggiunzione. Formula per la matrice inversa.

Regola di Cramer. [Cap. 3]

14 ottobre 2015 Lezione 18

Dimostrazione del Teorema di Cramer. Spazio delle righe di una matrice. Spazio delle colonne. Minore di una matrice. Minore principale. Rango per righe. Rango per colonne. Rango per minori. Il rango per righe coincide con il rango per pivot.

[Cap. 3]

15 ottobre 2015 Lezione 19

Il rango per colonne di una matrice è uguale al rango per pivot. Teorema degli orlati.

Il rango per minori di una matrice è uguale al rango per pivot. Estrazione di una base. [Cap. 3]

16 ottobre 2015 Lezione Annullata (disposizione facoltà: Maker Faire)

19 ottobre 2015 Lezione 20

Introduzione alla diagonalizzazione di matrici. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico (monico). Equazione caratteristica. [Cap.4]

20 ottobre 2015 Lezione 21

Diagonalizzazione e base di autovettori. Condizione sufficiente per la diagonalizzazione. Molteplicità algebrica e molteplictà geometrica. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzazione. Traccia di una matrice. [Cap. 4]

21 ottobre 2015 Lezione 22

Matrici simili. Proprietà. Formula per il polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton (senza dimostrazione) e applicazione al calcolo dell’inversa di una matrice e di potenze della matrice. [Cap. 4]

22 ottobre 2015 Lezione 23

Definizione di vettore libero. Operazioni sui vettori liberi. Spazio vettoriale V₂ dei vettori liberi. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale e identificazione tra V₂e R². Base ortonormale. Coordinate cartesiane di un vettore libero. Parallelismo tra vettori. Condizione di allineamento di tre punti e equazione cartesiana di una retta del piano. [Cap. 5]

23 ottobre 2015 Lezione 24

Prodotto scalare. Definizione e proprietà. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro. Coefficiente di Fourier. Normalizzazione di un vettore. Formula intrinseca del prodotto scalare. Formula per il coseno dell’angolo tra due vettori. Formula per l’area di un triangolo. [Cap. 5]

26 ottobre 2015 Lezione 25

Casi particolari dell’equazione di una retta. Equazioni parametriche di una retta. Parametri direttori. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa. Condizione di parallelismo tra due rette. Coseni direttori. Rette orientate. Angolo tra due rette orientate. [Cap. 5]

27 ottobre 2015 Lezione 26

Fascio proprio e improprio di rette. Vettore normale ad una retta. Condizione di perpendicolarità di due rette. Angolo tra due rette orientate. Distanza punto-retta.

[Cap. 5]

28 ottobre 2015 Lezione 27

Esercizi.

un esercizio.pdf

29 ottobre 2015 Lezione 28

Esercizi. Introduzione ai cambiamenti di riferimento. Sistemi equiversi e contraversi.

[Cap. 5]

30 ottobre 2015 Lezione 29

Equazioni di cambiamento di riferimento di coordinate di vettore e di punto. Matrice del cambiamento. Matrice del cambiamento inverso. Matrice ortogonale.

[Cap. 5]

Introduzione allo studio delle coniche. [Cap. 6]

2 novembre 2015 Lezione 30

Equazione cartesiana di una circonferenza. Definizione delle coniche come particolari luoghi geometrici. Caso dell’ellisse: equazione canonica, direttrice, eccentricità, fuochi. [Cap. 6]

· AVVISO: Il giorno giovedì 12 novembre alle ore 17 in aula 2 si terrà una esercitazione straordinaria di geometria. Per questa esercitazione occorrono degli studenti volontari che “guideranno” l’esercitazione. Ciascun volontario può scegliere a piacere l’argomento di una giornata delle lezioni tenute fino al giorno prima. Su quell’argomento deve prepararsi ad esporlo con coerenza in aula (come facesse la lezione) e prepararsi ad essere interrotto da domande del docente o dei colleghi studenti. Entro mercoledì 11 mi aspetto, via mail, le candidature dei volontari e l’indicazione degli argomenti scelti. Avremo a disposizione l’aula per due ore.

3 novembre 2015 Lezione 31

Equazione canonica dell’iperbole e della parabola. Asintoti. [Cap. 6]

Definizione ed esempi di conica generale e conica degenere. Matrice di una conica. Criterio per riconoscere se una conica è generale o meno. [Cap. 7]

4 novembre 2015 Lezione 32

Classificazione delle coniche. Coniche generali a centro. Riduzione a forma canonica di un’iperbole. [Cap. 7] Esercizio iperbole

5 novembre 2015 Lezione 33

Riduzione a forma canonica di una parabola. Asse di simmetria e vertice della parabola. Metodo degli invarianti. [Cap. 7] Esercizio parabola

6 novembre 2015 Lezione 34

Ampliamento del piano e coordinate omogenee. Punti all’infinito di una conica. Classificazione di una conica secondo le intersezioni con la retta impropria.

Ricerca dei parametri direttori degli asintoti di un’iperbole e dell’asse di simmetria di una parabola. [Cap. 7]

9 novembre 2015 Lezione 35

Coordinate polari. Equazioni cartesiane, polari e parametriche di curve piane. Alcune curve piane notevoli: cardioide, cicloide. Equazioni polari delle coniche generali. [Cap. 8]

10 novembre 2015 Lezione 36

Coordinate e vettori nello spazio. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. [Cap. 9]

11 novembre 2015 Lezione 37

Significato geometrico del prodotto misto. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo di due piani. Fasci di piani. Equazioni di una retta nello spazio.

[Cap. 9]

12 novembre 2015 Lezione 38

Equazioni cartesiane ridotte di una retta. Equazioni parametriche di una retta. Parametri direttori. Parallelismo di rette. Complanarità di rette. Rette sghembe.

[Cap. 9]

12 novembre 2015 Esercitazione straordinaria ore 17 aula 2

Argomenti di ripasso presentati dagli studenti.

13 novembre 2015 Lezione 39

Mutue posizioni di rette. Angoli. Parallelismo di retta e piano. Perpendicolarità di retta e piano. Perpendicolarità di due piani. [Cap. 9]

16 novembre 2015 Lezione 40

Distanze punto-piano e tra due piani paralleli. Distanza tra due rette parallele. Distanza tra due rette sghembe: metodo dei punti mobili e formula mediante il prodotto misto. Definizione di sfera e primi esempi di quadriche in forma canonica. [Cap. 9] Esercizio sulla distanza di rette sghembe

17 novembre 2015 Lezione 41

Quadriche in forma canonica. Esempi. [Cap. 9]

Sperimentare con le quadriche con Geogebra

Esercizio su una quadrica

18 novembre 2015 Lezione 42

Equazioni cartesiane di sottospazi vettoriali di Rⁿ. Definizione astratta di spazio vettoriale. Esempi. Spazi vettoriali su campi diversi da R. [Cap. 10]

Sul concetto di dimensione

19 novembre 2015 Lezione 43

Altri esempi di spazi e sottospazi vettoriali: funzioni di variabile reale, successioni. Base come insieme minimale di generatori o come insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Teorema di completamento ad una base e di riduzione ad una base (dimostrazioni facoltative). [Cap. 10]

20 novembre 2015 Lezione 44

Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann. [Cap. 10]

(N.B. Le dimostrazioni del capitolo 10 sono facoltative. Essenziali sono invece le definizioni, gli esempi e gli enunciati delle proposizioni o teoremi).

23 novembre 2015 Lezione 45

Definizione di applicazione lineare. Esempi: applicazioni lineari di V₂ (endomorfismi). Applicazione lineare indotta da una matrice. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. [Cap. 11]

Applicazioni lineari

24 novembre 2015 Lezione 46

Proprietà delle applicazioni lineari. Isomorfismi. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Matrici associate ad applicazioni lineari tra due spazi vettoriali (di dimensione finita) arbitrari. [Cap. 11]

25 novembre 2015 Lezione 47

Teorema delle dimensioni. Dimostrazione del teorema. Conseguenze e applicazioni. [Cap. 11] Esercizi

26 novembre 2015 Lezione 48

Cambiamenti di base. Matrici simili e endomorfismi. Endomorfismi e diagonalizzazione. [Cap. 11]

(N.B. Le dimostrazioni della sezione 11.3 sono obbligatorie, quelle del resto del capitolo 11 sono facoltative. Essenziali, come sempre, sono le definizioni, gli esempi e gli enunciati delle proposizioni o teoremi).

27 novembre 2015 Lezione 49

Spazi euclidei. Esistenza di basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. [Cap. 12]

30 novembre 2015 Lezione 50

Complemento ortogonale di un sottospazio. Rⁿ come somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Complemento ortogonale come nucleo dell’endomorfismo proiezione ortogonale. [Cap. 12] Esercizio

1 dicembre 2015 Lezione 51

Teorema di approssimazione. Diagonalizzazione ortogonale. Proprietà delle matrici simmetriche. Teorema degli assi principali (dimostrazione facoltativa). [Cap. 12]

Esercizio

(Delle esercitazioni straordinarie si terranno il giorno 9 dicembre alle ore 14 in aula 2 e il giorno 16 dicembre alle ore 14 sempre in aula 2. In entrambe gli studenti devono essere parte attiva. Nella prima di esse vorrei ripetere il tipo di esercitazione orale con possibilmente altri studenti volontari che si preparino uno degli argomenti svolti dopo le coniche. Nella seconda esercitazione decideremo insieme cosa sia meglio fare.)

2 dicembre 2015 Lezione 52

Forme quadratiche. Definizioni. Matrice associata alla forma. Caratterizzazione come conseguenza del Teorema degli assi principali. Criterio di positività e negatività (senza dimostrazione) mediante i minori principali. Soluzioni approssimate ai minimi quadrati. Equazioni normali. [Cap. 12]

3 dicembre 2015 Lezione 53

Formula per la matrice standard della proiezione ortogonale su un sottospazio.

Definizione di prodotto scalare in generale. Esempio del prodotto scalare in P_n.

Procedimento di Gram-Schmidt in spazi euclidei generali. [Cap. 12] Esercizio

4 dicembre 2015 Lezione 54

Polinomi interpolatori di Lagrange. Spazio euclideo di polinomi con diversi esempi di prodotto scalare. Prodotto scalare su M(nxn). Prodotto scalare su spazio di funzioni continue. Disuguaglianza di Schwarz (dimostrazione facoltativa). [Cap. 12]Esercizio

7 dicembre 2015 Lezione 55

Funzioni a valori vettoriali. Derivate di prodotti scalari e vettoriali. Arco di curva regolare. Esempi. Lunghezza di un curva. Curve rettificabili. [Cap. 13]

9 dicembre 2015 Lezione 56

Ascissa curvilinea. Definizione e calcolo della tangente ad una curva. [Cap. 13]

Con questa lezione abbiamo esaurito il materiale in programma. Le lezioni rimanenti, a partire dal 10 dicembre saranno dedicate a ripasso ed esercizi.

9 dicembre 2015 Esercitazione straordinaria aula 2 ore 14

10 dicembre 2015 Lezione 57