VALENTINA
PEPE
Via Scarpa
10, ufficio 20, II livello. Indirizzo email: valentina.pepe@uniroma1.it.
RICEVIMENTO:
Su
appuntamento, si prenota per email.
Libri di testo consigliati:
Per la parte
di Algebra Lineare:
A. Bernardi,
A. Gimigliano, Algebra lineare e geometria analitica,
Città Studi Edizioni
Per la
Geometria Analitica:
L. Francisco e P. Mercuri, Elementi di Geometria Affine ed Euclidea, Edizioni Efesto
Per gli
esercizi, ci sono le mie dispense che potete trovare qui di seguito.
PROGRAMMA:
Algebra
lineare:
0)Definizione
di campo ed esempi: Q,R,F2.
1)Lo spazio
delle n-uple di numeri reali: somma, prodotto
esterno, prodotto scalare standard, definizioni e prime proprietà.
2)Lo spazio
delle matrici a coefficienti reali: prime definizioni, somma, prodotto esterno,
prodotto righe per colonne e loro proprietà, prodotto di matrici a blocchi
(senza dimostrazione).
3) Sistemi
lineari: definizioni, sistemi lineari omogenei, prime proprietà (vedere
Dispensa: Integrazione1), risoluzione di un sistema col metodo di eliminazione
di Gauss.
4)Determinante
e inversa di una matrice quadrata: definizioni e prime proprietà, risoluzione
di un sistema quadrato col metodo di Cramer. Rango di
una matrice: definizione e prime proprietà.
5)Teorema di
Rouché-Capelli. Confronto dei vari approcci per
determinare se un sistema di equazioni lineari è determinato,
indeterminato, incompatibile.
6)Spazi
vettoriali: definizioni, esempi, prime proprietà, sottospazi, insiemi di
generatori, insiemi dipendenti e indipendenti (vedere: Integrazione 2), lemma
di Steinitz (Integrazione 3), esistenza delle basi.
Sottospazi, Formula di Grassmann . Sottospazi di R^n (Integrazione 4): forma parametrica e cartesiana. Spazi
delle righe e delle colonne delle matrici: teorema del rango.
7)Trasformazioni
lineari: definizioni, prime proprietà, rappresentazione attraverso matrici,
nucleo e immagine, teorema delle dimensioni, isomorfismi, Teorema: ogni spazio vettoriale
sui reali di dimensione n è isomorfo a R^n.
8)Autovalori e autovettori di una
matrice quadrata. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
Diagonalizzazione (Integrazione 5).
9)Prodotto
scalare: definizione di prodotto scalare astratto, prime proprietà, norme,
ortogonalità. Basi ortonormali, algoritmo di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Diagonalizzazione ortogonale.
Geometria
analitica:
1)Geometria
analitica piana: vettori liberi, parallelismo, prodotto scalare, angolo fra due
vettori, equazione parametrica e
cartesiana di una retta, intersezione, parallelismo e ortogonalità di due
rette, distanza fra due punti e fra un punto e una retta, cambiamento di
riferimento.
2) Nozioni
di base sulle forme quadratiche; classificazione delle coniche (vedere
dispensa: Classificazione coniche).
3)Geometria
analitica spaziale: coordinate e vettori nello spazio, prodotto vettoriale,
equazione parametrica e cartesiana di un piano, intersezione, parallelismo e
ortogonalità fra due piani, fasci di piani, equazione parametrica e cartesiana
di una retta, mutua posizione fra due rette, parallelismo e ortogonalità fra
rette e piani, angolo fra due rette, angolo fra retta e piano, angolo tra due
piani, distanza fra due punti, distanza punto-piano, distanza punto-retta,
distanza fra due rette, distanza retta-piano, area del parallelogramma.
Classificazione
di coniche non degeneri
Riduzione a gradini di matrici
Schema riassuntivo sui sistemi lineari
Esercizi in aula su spazi vettoriali
Esercizi in aula su applicazioni lineari
Altri esercizi di
algebra lineare
MODALITA’ DI
ESAME
L’esame
consiste in una prova scritta obbligatoria e una prova orale facoltativa, a
meno che non abbia sospetto di copia o di comportamento scorretto, in tal caso
un breve orale per discutere il compito sarà necessario.
La prova
scritta consiste in 4 esercizi e 3 domande. Le domande possono essere delle
vere e proprie domande di teoria o esercizi dalla bassa complessità di calcolo
ma che richiedo la conoscenza della parte teorica. Con lo scritto si può
prendere fino a 27. All’orale si discute brevemente il compito e si discutono i
teoremi con le relative dimostrazioni. Attenzione! Se, ad esempio, chiedo ad
uno studente un teorema sulle funzioni iniettive, non mi aspetto che conosca
solo la dimostrazione, ma anche che risponda a domande del tipo: che cosa è una
funzione lineare? Che cosa è una funzione iniettiva? Mi sa dare un esempio di
funzione iniettiva?
Le date di esame sono su Infostud
ESEMPI DI
PROVE DI ESAME CON SVOLGIMENTO