Diario delle lezioni (AA 11-12)

 (“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo Pisano, Liber Abaci)

 

In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti alla bibliografia. I principali testi di riferimento sono i primi due. Gli altri della lista sono comunque dei buoni testi.  Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.

 

Lezione 1 (26-09-2011)

Cenni introduttivi di carattere storico: il postulato delle parallele, Bolyai, Lobachevsky, Gauss, Galois, Riemann, Klein.

Richiami su insiemi e operazioni su insiemi. Prodotto cartesiano di due insiemi. Corrispondenze, Relazioni. Funzioni o applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. [1, Cap.1]. Esercizi

 

Lezione 2 (27-09-2011)

Relazioni di equivalenza. Partizione di un insieme. Congruenza modulo n. Definizione astratta di spazio vettoriale. Otto assiomi dello spazio vettoriale.

[1, Cap.2]. Esercizi Soluzioni

 

Lezione 3 (28-09-2011)

Rn come spazio vettoriale. Combinazione lineare. Sottospazio vettoriale di Rn. Sottospazio generato da alcuni vettori. Dipendenza e indipendenza lineare.  Basi di un sottospazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio. [1, Cap.2]. Esercizi

 

Lezione 4 (29-09-2011)

Espressione unica di un vettore in termini di vettore di una base. Base canonica di Rn. Prodotto scalare di Rn. e sue proprietà.  Matrici. Addizione di matrici. Moltiplicazione per uno scalare. Insieme M(mxn, R ) come spazio vettoriale. Moltiplicazione riga per colonna di matrici. Proprietà della moltiplicazione di matrici. Conseguenze della non commutatività. Definizione di matrici idempotenti e nilpotenti.[2. Paragrafi 1.1,1.2]. Esercizi

 

Lezione 5 (30-09-2011)

Ancora sulla moltiplicazione tra matrici. Matrici a blocchi. Interpretazione di un sistema di equazioni lineari mediante moltiplicazione di matrici. Moltiplicazione di una matrice A di ordine  mxn per una B di ordine nx1 interpretata come combinazione lineare delle colonne di A.

 Trasposta di una matrice. Definizione di matrice simmetrica. Panoramica sui metodi elementari di risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Definizione di determinante mediante i prodotti competenti e le permutazioni. Casi particolari 2x2 e 3x3. Regola di Sarrus. Sviluppo secondo Laplace. Primo teorema di Laplace. Matrici diagonali. Triangolari superiori, inferiori. Diagonale a blocchi. Esercizi e complementi.

 

Lezione 6 (3-10-2011)

         Proprietà dei determinanti. Invertibilità di una matrice e determinanti. Aggiunta di una matrice. Formula della matrice inversa. Soluzione di un sistema mediante la regola di Cramer.

Esercizi e complementi   

 

Lezione 7 (4-10-2011)

         Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema o sulle righe di una matrice. Matrice completa. Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta. Pivot. Rango per pivot di una matrice. Metodo di eliminazione di Gauss o di Gauss-Jordan per la risoluzione dei sistemi lineari.

Esercizi e complementi Utile pagina web (in inglese)

 

Lezione 8 (5-10-2011)

         Minori di una matrice. Rango per minori di una matrice. Estensione del metodo di Cramer alla soluzione di sistemi lineari non necessariamente quadrati. Teorema degli orlati. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizi e complementi

 

Lezione 9 (6-10-2011)

         Algoritmo di inversione: calcolo dell’inversa di una matrice mediante la riduzione di Gauss-Jordan. Sistemi lineari omogenei (SLO). Autosoluzioni. Condizioni per l’esistenza di autosoluzioni. L’insieme delle soluzioni di un SLO come sottospazio vettoriale di Rn. Esercizi

 

Lezione 10 (7-10-2011)

         Esercizi sull’algoritmo di inversione. Confronto tra l’algoritmo di Gauss e l’uso del determinante. Inversa di un prodotto di matrici invertibili. Esercizi e complementi (Vedere anche per un confronto tra i due metodi: Confronto (in inglese) ) Esercizio

 

Lezione 11 (10-10-2011)

         Teorema sulle condizioni equivalenti di invertibilità di una matrice.  Matrici  invertibili e matrici elementari. Esercizi

 

Lezione 12 (11-10-2011)

         Dimostrazione del teorema di Binet. Dimostrazione della condizione di invertibilità legata al determinante. Dimostrazione della regola di Cramer. Esercizi e complementi

 

Lezione 13 (12-10-2011)

         Introduzione alla diagonalizzazione di matrici attraverso esempi. Definizione di autovalore, autovettore, autospazio, polinomio caratteristico, equazione caratteristica. Esempio nel caso di matrici 2x2. Applicazione alla successione di Fibonacci. Esercizi e complementi

 

Lezione 14 (13-10-2011)

         Ancora esempi di diagonalizzazione di matrici. Caso 3x3. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica.  Polinomio caratteristico e sua relazione con la traccia e il determinante di una matrice.  Legame tra il rango della matrice e la dimensione dell’autospazio. Esercizi e complementi

 

Lezione 15 (14-10-2011)

Caso di matrici in cui la molteplicità algebrica è diversa dalla molteplicità geometrica. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzazione. Diagonalizzazione di una matrice con autovalori distinti. Teorema di Cayley-Hamilton e qualche sua conseguenza. Esercizi e complementi Ancora su Fibonacci

 

Lezione 16 (17-10-2011)

Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Equivalenza dei differenti concetti di rango. Successioni di Fibonacci come esempio di spazio vettoriale di dimensione 2 e sue conseguenze. Qualche richiamo sui numeri complessi.

Esercizi e complementi

(Per approfondimenti sul problema di Collatz vedere: http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0309/0309224v13.pdf

Vedere anche la pagina http://it.wikipedia.org/wiki/Congettura_di_Collatz oppure

http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture che contiene maggiori informazioni e diagrammi)

 

Lezione 17 (18-10-2011)

La lezione si è svolta in maniera molto ridotta a causa del ritardo del docente. La lezione sarà recuperata quanto prima probabilmente in uno degli orari disponibili per il tutor. La data più probabile è venerdì 28 ottobre. Soluzione di alcuni esercizi della lezione precedente v. anche alcuni numeri complessi per l'esercizio

 

Lezione 18 (19-10-2011)

Spazio vettoriale V2. Dipendenza e indipendenza lineare in V2. Interpretazione geometrica dell’indipendenza. Coordinate di un vettore di V2 rispetto ad una base. Base ortonormale e sistema cartesiano ortogonale di riferimento RC(O,i,j). Identificazione di V2 con R2. Prodotto scalare su V2 e su R2. Esercizi

 

Lezione 19 (20-10-2011)

Condizione di parallelismo tra due vettori di del piano. Espressione della lunghezza di un vettore tramite il prodotto scalare. Distanza tra due punti. Espressione dell’angolo compreso tra due vettori mediante il prodotto scalare.  Area di un triangolo: formula del determinante. Condizione di allineamento di tre punti. Equazione cartesiana di una retta. Equazione parametrica di una retta. Relazione tra i parametri direttori e il coefficiente angolare. Esercizi e complementi

 

Lezione 20 (21-10-2011)

Componente ortogonale di un vettore secondo una direzione. Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier. Condizione di parallelismo tra due vettori di del piano. Espressione della lunghezza di un vettore tramite il prodotto scalare. Distanza tra due punti. Espressione dell’angolo compreso tra due vettori mediante il prodotto scalare.  Area di un triangolo: formula del determinante. Condizione di allineamento di tre punti. Equazione cartesiana di una retta. Equazione parametrica di una retta. (N.B. La lezione è stata in parte ripetuta a causa dei problemi “atmosferici” della giornata di ieri) Esercizi

 

Lezione 21 (24-10-2011)

Parametri direttori. Coseni direttori definizione e interpretazione geometrica. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra due rette. Formula della distanza punto-retta. Esercizi

 

Lezione 22 (25-10-2011)

Definizione di applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Un’applicazione lineare è determinata dai valori assunti su una base. Qualche esempio importante di operatore lineare su   V2 : rotazione e proiezione ortogonale. Matrici che rappresentano l’operatore di rotazione e l’operatore di proiezione ortogonale. Definizione di matrice ortogonale. Esercizi

 

Lezione 23 (26-10-2011)

Formule per un cambiamento di riferimento cartesiano ortogonale. Basi equiverse e contraverse.

Esercizi e complementi Figura 1

 

Lezione 24 (27-10-2011)

Introduzione alle sezioni coniche. Definizione di ellisse, iperbole e parabola come luoghi geometrici. Forma canonica dell’equazione dell’ellisse, dell’iperbole, della parabola. Eccentricità. Esercizi e complementi

 

Lezione 25 (28-10-2011)

Esercizi sulle coniche. Esercizi e complementi

 

Lezione 26 (28-10-2011, ore 12)

Esercizi sulla geometria analitica del piano.

 

Lezione 27 (31-10-2011)

Coniche degeneri e non degeneri. Riconoscimento di una conica tramite cambiamento di riferimento. Invarianti. Esercizi e complementi

 

Lezione 28 (2-11-2011)

Spazio vettoriale V3 e identificazione con R3  tramite una base ordinata. Base ortonormale.

Tre vettori di V3 sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari. Basi equiverse e contraverse. Prodotto vettoriale. Condizione di complanarità di quattro punti ed equazione cartesiana di un piano. Esercizi

 

Lezione 29 (3-11-2011)

Proprietà del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale.

Distanza tra due rette parallele. Equazioni parametriche di una retta nello spazio. Equazioni cartesiane di una retta.

 

Lezione 30 (4-11-2011)

Ancora sul prodotto vettoriale. Volume di un parallelepipedo. Significato geometrico dei parametri di giacitura di un piano. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra due piani. Fascio proprio e fascio improprio di piani. Esercizi e complementi, prodotto vett 1.png, prodotto vett 2.png

 

Lezione 31 (7-11-2011)

Formule per i parametri direttori di una retta a partire dalle equazioni cartesiane. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità retta-piano. Mutue posizioni di due rette nello spazio. Condizione analitica di complanarità tra due rette. Distanza tra due rette parallele. Distanza punto-piano. Complementi ed esercizi

 

Lezione 32 (8-11-2011)

Esercizi sulla geometria analitica dello spazio. Sfera.

Complementi ed esercizi

 

Lezione 33 (9-11-2011)

Concetto di gruppo e di anello mediante esempi. Gruppi finiti e infiniti. Gruppo diedrale. Gruppo delle permutazioni. Gruppo delle classi resto modulo n. Gruppi di matrici. Anelli Z e Zn

Esercizi   

 

Lezione 34 (10-11-2011)

Ancora sul concetto di gruppo e di anello mediante esempi. Campi. Esempi di campi finiti. Gruppo dei quaternioni. Concetto di congruenza e criteri di divisibilità.

Esercizi  Disquisitiones Arithmeticae

 

Lezione 35 (11-11-2011)

Concetto generale di spazio vettoriale su un campo qualsiasi. Esempi: polinomi in una variabile, matrici, funzioni continue, codici lineari. Esercizi

 

Lezione 36 (14-11-2011)

Qualche esempio di calcolo nello spazio a quattro dimensioni.

Quattro spazi importanti legati ad una matrice A: lo spazio delle righe, lo spazio delle colonne, l’annullatore e l’immagine. Esercizi

 

Lezione 37 (15-11-2011)

Ancora sugli spazi legati ad una matrice. Relazione con i relativi spazi della forma a scala per righe di A. Teorema del Rango: la dimensione dello spazio delle colonne di A è uguale alla dimensione dello spazio delle righe di A. Determinazione di una base di C(A), R(A), null(A), im(A). Dimostrazione che im(A)=C(A). Esercizi e complementi

 

Lezione 38 (16-11-2011)

Dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema fondamentale. Teorema di Invarianza. Lemma di Indipendenza. Teorema di esistenza delle basi. Esercizi e Complementi

 

Lezione 39 (17-11-2011)

Trasformazioni lineari tra due spazi vettoriali qualunque. Esempi. Endomorfismi o Operatori. Proprietà delle trasformazioni lineari. Estensione di una applicazione per linearità. Equazioni di una trasformazione lineare da Rn  a Rm  . Nucleo e immagine di una trasformazione lineare. Relazione con l’annullatore e l’immagine di una matrice. Una trasformazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è nullo. Esercizi e complementi

 

Lezione 40 (18-11-2011)

Trasformazione lineare indotta da una matrice e matrice che rappresenta una trasformazione lineare. Esempi. Esercizi e complementi

 

Lezione 41 (21-11-2011)

Una generalizzazione del teorema di Rouché-Capelli: il teorema delle dimensioni. (Dimostrazione facoltativa, vedi ad esempio [2], Teorema 5.3.23.)  Isomorfismo. Isomorfismo legato ad una base ordinata. Ogni spazio vettoriale di dimensione finita è isomorfo ad  Rn  .     Esercizi e complementi

 

Lezione 42 (22-11-2011)

Matrice di una trasformazione lineare.  Esempi. Matrice dell’applicazione identica. Esercizi e complementi

 

Lezione 43 (23-11-2011)

Ancora esempi di calcolo di matrici di una trasformazione lineare.  Definizione di matrici simili e dimostrazione di alcune loro proprietà. Esercizi e complementi

 

Lezione 44 (24-11-2011)

Relazione di similitudine tra due matrici che rappresentano lo stesso operatore.  Relazione tra la matrice di un operatore e dell’operatore inverso. Matrice della composizione di due operatori.

Esercizi

 

Lezione 45 (25-11-2011)

Definizione di spazio vettoriale euclideo. Prodotto scalare astratto. Esempi.

Esercizi

 

Lezione 46 (28-11-2011)

Esempi di forme bilineari simmetriche e definite positive o non degeneri su R2  ottenute tramite matrici quadrate simmetriche e definite positive o invertibili.   Un insieme ortogonale di vettori non nulli è necessariamente indipendente. Definizione di base ortogonale e base ortonormale. Espressione di un vettore in una base ortogonale tramite i coefficienti di Fourier. Esistenza di una base ortogonale: procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complementi ed esercizi 

 

Lezione 47 (29-11-2011)

Dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza Triangolare. Definizione di distanza in uno spazio euclideo. Formula dello sviluppo di Fourier per la proiezione ortogonale su un sottospazio. Esercizi e complementi

 

Lezione 48 (30-11-2011)

Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Il complemento ortogonale dello spazio delle colonne di una matrice A è l’annullatore di AT. Teorema di approssimazione. Applicazione del teorema di approssimazione allo studio di soluzioni approssimate di un sistema incompatibile. Esercizi e complementi Figura 1

 

Lezione 49 (1-12-2011)

Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Definizione di matrice ortogonalmente diagonalizzabile. Proprietà delle matrici simmetriche. Esercizi e Complementi

 

Lezione 50 (2-12-2011)

Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Condizioni necessarie e sufficienti affinché una matrice sia ortogonale. Teorema degli Assi Principali. Esercizi

 

Lezione 51 (2-12-2011) Simulazione d’esame nel pomeriggio:14:30-17:30

Esercizi

 

Lezione 52 (5-12-2011) Dimostrazione del Teorema degli Assi Principali.  Applicazione alla diagonalizzazione delle forme quadratiche. Riconoscimento di una conica a partire dagli autovalori della relativa forma quadratica. Esercizi

 

Lezione 53 (6-12-2011)

Esercizi sull’applicazione del Teorema degli assi principali. Forma quadratica definita positiva. Matrice definita positiva. Criterio dei minori principali (senza dimostrazione).

Esercizi

 

Lezione 54 (7-12-2011)

Esercizi sui prodotti scalari generali

 

Lezione 55 (12-12-2011)

Esercitazione

Esercizi Approssimazione di Fourier Grafico delle prime approssimazioni della funzione x2

 

Lezione 56 (13-12-2011)

Esercitazione

 

Lezione 57 (14-12-2011)

Esercitazione

 

Lezione 58 (15-12-2011)

Esercitazione

 

Lezione 59 (16-12-2011)

Esercitazione

 

Lezione 60 (19-12-2011)

Esercitazione

 

 

 

 

Buon Natale e Buon Anno.

 

Bibliografia

 

1.      S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Esculapio, 2010

2.      W. Keith Nicholson, Algebra Lineare, dalle applicazioni alla teoria, McGraw-Hill 2002

3.      P. Maroscia: Geometria e Algebra Lineare, Zanichelli, 2002

4.      E. Schlesinger: Algebra Lineare e Geometria, Zanichelli, 2011

5.      M. Bordoni: Geometria Analitica, Esculapio, 2001